Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Wir wollen nun eine kurze Zusammenfassung des Bifurkationsszenarios dieser Gleichung geben
und so das Zustandekommen des chaotischen Verhaltens untersuchen. Siehe [GH83]. Wir
wählen den Parameter ρ als Bifurkationsparameter. und stellen fest, dass die z-Achse eine invariante
Menge ist und dass die Symmetrie (x, y, z) ↦→ (−x, −y, z) vorliegt. Für ρ < 1 ist der
Ursprung stabil. Jede Lösung konvergiert letztendlich in den Ursprung. Es existiert eine Lyapunovfunktion,
welche auch den Nachweis einer absorbierenden Menge für ρ > 1 erlaubt. Bei
ρ = 1 überquert ein reeller Eigenwert die imaginäre Achse, was wegen der Symmetrie zu einer
superkritischen Pitchforkbifurkation führt, d.h. zwei stabile Fixpunkte verzweigen aus dem
Ursprung.
Diese sind stabil bis zu einem Wert ρ = ρ Hopf ≈ 24.74. Hier findet eine superkritische Hopfbifurkation
statt, d.h. es verzweigen instabile periodische Lösungen, womit die lokale Bifurkationsanalyse
für ρ > ρ Hopf zu keiner stabilen Lösung mehr führt. Numerische Untersuchungen
ergeben, dass für ρ > 24.06 mit dem Lorenzattraktor eine weitere invariante stabile Menge
existiert.
Sie ist das Produkt einer homoklinen Explosion beim Wert ρ ≈ 13.926, d.h. das Produkt einer
globalen Bifurkation.
Diese kommt wie folgt zustande. Die zwei Äste S 1 und S 2 der instabilen Mannigfaltikeit des
Ursprungs sind jeweils mit den dreidimensionalen stabilen Mannigfaltigkeiten der bei ρ = 1
verzweigenden Fixpunkte x 1 und x 2 verbunden. Bei ρ ≈ 13.926 wechselt der Ast S 1 von x 1
zu x 2 und der Ast S 2 von x 2 zu x 1 . Im Bifurkationspunkt sind die zwei Äste S 1 und S 2 mit
der zweidimensionalen stabilen Mannigfaltigkeit des Ursprungs verbunden, d.h. es liegen zwei
homokline Verbindungen vor. Dieser Vorgang führt erneut zu komplizierter Dynamik und dem
Auftreten chaotischen Verhaltens. Wir sprechen von einer homoklinen Explosion [Wig88].
Der Nachweis, dass diese dann ab ρ ≈ 24.06 attraktive Menge tatsächlich chaotische Dynamik
enthält, gelang erst vor kurzem mittels eines computerunterstützten Beweises [Tuc02].
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