Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

d.h. für z hinreichend klein, werden die Gebiete verkleinert, wenn 2α < −λ. Nach Voraussetzung
gilt −1 < α/λ < 0 und damit werden vertikale Streifen nach obiger Formel gestreckt.
Wir definieren nun eine Abbildung φ, welche eine Umgebung um q über die homokline Lösung
wieder in
˜Σ 0 = {(x, y, z) | x 2 + y 2 = r 2 0, |z| < z 0 }
transportiert. Siehe Abbildung 33. Die Wiederkehrabbildung definieren wir durch durch φ ◦ ψ
für alle Punkte r ∈ Σ 0 mit φ(ψ(r))∈Σ 0 . O.B.d.A. liege p auf der x-Achse, d.h. θ = 0. Definiere
dann
V = { (r, θ, z) | r = r 0 , |θ| ≤ δ, 0 < z < ɛ }.
Wähle W wie in Abbildung 34. Damit haben wir in der Wiederkehrabbildung eine Smalesche
φ(ψ( W)
W
z
p
θ
Hufeisenabbildung gefunden.
Abbildung 34: Die Hufeisen-Abbildung im Silnikov-Beispiel.
Bemerkung 6.24 Nach der obigen Konstruktion ist klar, dass abzählbar viele Hufeisenabbildungen
gefunden werden können.
6.4 Der Lorenz-Attraktor
Das vom Meteorologen Edward Lorenz [Lor63] aufgestellte Differentialgleichungssystem
ẋ = σ(y − x),
ẏ = ρx − y − xz,
ż = −bz + xy,
mit Parametern ρ = 27, σ = 10 und b = 2.66666 sollte ein einfaches Wettermodell darstellen.
Numerische Untersuchungen mittels eines Analogrechners führten zur Feststellung, dass eine
sensitive Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsbedingungen vorliegt.
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