Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

(x,y,z )
1
q
q
(r 0 θ ,z) p
p
Abbildung 33: Die Abbildungen ψ (links) und φ (rechts).
und setzen voraus, dass Σ 0 und Σ 1 in dem Bereich liegen, wo der Fluß linear ist. Die Lösungen
fließen von Σ 0 nach Σ 1 entsprechend Abbildung 33.
Wir berechnen nun die Abbildung ψ : Σ 0 → Σ 1 , die einem Punkt a ∈ Σ 0 den ersten Durchstoßpunkt
der dazugehörigen Lösung durch Σ 1 zuordnet. Dazu lösen wir z 1 = e λt z(0) nach t
auf. Wir erhalten t = λ −1 ln(z 1 /z(0)) als Flugzeit von Σ 0 nach Σ 1 . Damit ergibt sich
φ t (x, y, z) = (( z 1
z )α/λ [(cos γ)x − (sin γ)y], ( z 1
z )α/λ [(sin γ)x + (cos γ)y], z 1 ),
wobei γ = βλ −1 ln(z 1 /z). Mit x = r 0 cos θ und y = r 0 sin θ erhalten wir eine zweidimensionale
Abbildung ψ die den Koordinaten θ, z in Σ 0 die Koordinaten x, y in Σ 1 zuweist, genauer
ψ(θ, z) = (r 0 ( z 1
z )α/λ cos(θ + γ), r 0 ( z 1
z )α/λ sin(θ + γ))
= (ψ 1 (θ, z), ψ 2 (θ, z))
Die Abbildung ψ bildet vertikale Abschnitte θ = const. aus Σ 0 in eine logarithmische Spirale
in Σ 1 ab. Um die Streckung und Kontraktion der Abbildungen zu sehen, berechnen wir die
Ableitung zu
Diese kann als
Dψ(θ, z) =
Dψ(θ, z) = r 0 ( z (
1 cos γ
z )α/λ sin γ
( ∂ψ1
∂θ
∂ψ 2
∂θ
∂ψ 1
∂z
∂ψ 2
∂z
)
.
) ( − sin γ − sin θ
−α cos θ+β sin θ
)
λz
cos γ − cos θ
geschrieben werden. Damit ergibt sich
( )
αr0 2 det(Dψ) =
z2α/λ 1
z −(1+2α/λ) ,
λ
95
−α sin θ−β cos θ
λz