Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

6.3 Silnikov-Chaos
In diesem Abschnitt betrachten wir eine autonome dreidimensionale Differentialgleichung, in
welcher eine homokline Trajektorie γ an einem Sattelpunkt mit komplexen Eigenwerten hängt.
Siehe Abbildung 32.
Abbildung 32: Das Silnikov-Beispiel.
Die Eigenwerte seien durch λ ∈ R, ω, ¯ω ∈ C mit Imω ≠ 0 gegeben. Silnikov [Sil65] hat 1965
folgendes gezeigt.
Theorem 6.23 Wenn |Reω| < λ, dann kann der Fluß φ t so gestört werden, dass der gestörte
Fluß ˜φ t einen homoklinen Orbit ˜γ nahe γ besitzt und die Wiederkehrabbildung (siehe unten)
auf einer Teilmenge zur Smaleschen Hufeisenabbildung konjugiert ist.
Beweisidee: Wir stören das Vektorfeld in der Nähe des Ursprungs so, dass ein lineares Vektorfeld
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ẋ α −β 0 x
⎝ ẏ ⎠ = ⎝ β α 0 ⎠ ⎝ y ⎠ ; ω = α + iβ (19)
ż 0 0 λ z
vorliegt. Die Lösungen sind durch
⎛ ⎞ ⎛
x e αt ⎞
((cos βt)x(0) − (sin βt)y(0))
⎝ y ⎠ (t) = ⎝ e αt ((sin βt)x(0) + (cos βt)y(0)) ⎠ (20)
z
e λt z(0)
gegeben. In der Nähe des Ursprungs wird die radiale Komponente r = √ x 2 + y 2 gedämpft,
während |z| anwächst. Wir definieren zwei Flächen
Σ 0 = {(x, y, z)|x 2 + y 2 = r 2 0 and 0 < z < z 1},
Σ 1 = {(x, y, z)|x 2 + y 2 < r 2 0 and z = z 1 > 0}
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