Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Bemerkung 6.21 Durch die Koordinatentransformation t ↦→ t + t 0 erhalten wir die übliche
Form
M(t 0 ) =
∫ ∞
−∞
f(q 0 (t)) ∧ g(q 0 (t), t + t 0 ).
Dieses Integral kann numerisch recht gut berechnet werden, da q 0 (t) → p 0 für t → ±∞ mit
einer exponentiellen Rate, d.h. f(q 0 (t)) → 0 mit einer exponentiellen Rate.
Beispiel 6.22 Wir betrachten das zweidimensionale zeitlich periodische System
˙u = v,
˙v = u − u 3 + ɛ(γ cos ωt − δv).
Dieses beschreibt eine nichtlineare Feder mit zeitlich periodischer Anregung mit Amplitude γ
und Dämpfung δ. Für ɛ = 0 besitzt das System den hyperbolischen Fixpunkt (0, 0) und die
Zentren (±1, 0). Als Hamiltonfunktion H finden wir
H(u, v) = v2
2 − u2
2 + u4
4
Die Äquipotentialfläche H = 0 besteht aus zwei homoklinen Orbits Γ 0 + , Γ0 −
p 0 = (0, 0). Wählen wir q± 0 = (± √ 2, 0), so ergibt sich
und dem Punkt
−∞
∫ ∞
q 0 + (t) = (√ 2 sech t, − √ 2 sech t tanh t),
q 0 − (t) = −q0 + (t).
Als Melnikovfunktion ergibt sich
∫ ∞ (
) (
v 0 (t)
0
M(t 0 ) =
∧
u 0 (t) − (u 0 (t)) 3 γ cos ω(t + t 0 ) − δv 0 (t)
=
v 0 (t)[γ cos ω(t + t 0 ) − δv 0 (t)] dt
)
dt
−∞
= − √ 2γ
∫ ∞
sech t tanh t cos ω(t + t 0 ) dt − 2δ
∫ ∞
sech 2 t tanh 2 t dt.
−∞
Die Integrale können mit Hilfe des Residuensatzes berechnet oder einer Formelsammlung bestimmt
werden. Es ergibt sich
−∞
M(t 0 ; γ, δ, ω) = − 4δ
3 + √ 2γπω sech( πω 2 ) sin ωt 0.
Ist
| 4δ
3 | < √ 2γπω sech( πω 2 ),
so besitzt M(t 0 ) einfache Nullstellen und es liegt ein transversaler Schnitt der stabilen und
instabilen Mannigfaltigkeit vor.
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