Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Aus
und ˙q 0 = f(q 0 ) folgt
Damit ergibt sich 6
˙q s ɛ = ˙qs 0 + ɛ ˙qs 1 + O(ɛ2 ) = f(q 0 ) + ɛDf(q 0 )q s 1 + ɛg(q 0) + O(ɛ 2 )
˙q s 1 (t, t 0) = Df(q 0 (t − t 0 ))q s 1 (t, t 0) + g(q 0 (t − t 0 ), t)
d
dt ∆s (t, t 0 ) = Df(q 0 )f(q 0 ) ∧ qs 1 + f(q 0) ∧ (Df(q 0 )q1 s + g(q 0, t))
= (spurDf(q 0 ))∆ s + f(q 0 ) ∧ g(q 0 , t).
Es gilt spurDf(q 0 ) = 0, da f ein Hamiltonsches Vektorfeld ist. Integrieren wir von t 0 bis ∞,
erhalten wir
∆ s (∞, t 0 ) − ∆ s (t 0 , t 0 ) =
∫ ∞
t 0
f(q 0 (t − t 0 )) ∧ g(q 0 (t − t 0 ), t)dt.
Es ist ∆ s (∞, t 0 ) = lim t→∞ f(q 0 (t − t 0 )) ∧ q1(t s − t 0 ). Da lim t→∞ q 0 (t − t 0 ) = p 0 , folgt
lim t→∞ f(q 0 (t − t 0 )) = 0. Da gleichzeitig q1 s(t, t 0) beschränkt ist, folgt ∆ s (∞, t 0 ) = 0. Analog
finden wir
∆ u (∞, t 0 ) =
∫ t0
−∞
Nach Definition von d(t 0 ) ergibt sich damit
f(q 0 (t − t 0 )) ∧ g(q 0 (t − t 0 ), t)dt.
d(t 0 ) = ɛM(t 0)
‖f(q 0 (0)‖ + O(ɛ2 ).
Da ‖f(q 0 (0))‖ unabhängig von ɛ ist, ist M(t 0 ) eine gute Approximation des Abstandes der
Mannigfaltigkeiten in q 0 (0) auf Σ t 0
Die Funktion M(t 0 ) erfüllt nach Konstruktion M(t 0 ) = M(t 0 + 2π). Wenn sie um Null oszilliert,
müssen, für ɛ > 0 hinreichend klein, q u (t 0 ) und q s (t 0 ) bezüglich f ⊥ (q 0 (0)) ihre Orientierung
ändern. Damit existiert ein τ ∈ [0, 2π) mit q u (τ) = q s (τ) und daher ein homokliner Punkt
q ∈ W s (p τ ɛ ) ∩ W u (p τ ɛ ). Da alle Poincaré-Abbildungen äquivalent sind, müssen sich W u (p t 0 ɛ )
und W s (p t 0 ɛ ) für alle t 0 ∈ [0, 2π) schneiden. Wenn die Nullstellen von M(t 0 ) einfach sind, sind
auch die Nullstellen von d(t 0 ) einfach und der Schnitt der Mannigfaltigkeiten ist transversal. Ist
M(t 0 ) von Null wegbeschränkt, kann für ɛ > 0 hinreichend klein, kein Schnitt vorliegen. □
6
(Ma) ∧ b + a ∧ (Mb) = (m 11 a 1 + m 12 a 2 )b 2 − (m 21 a 1 + m 22 a 2 )b 1 + a 1 (m 21 b 1 + m 22 b 2 ) − a 2 (m 11 b 1 + m 12 b 2 )
= a 1 b 1 (−m 21 + m 21 ) + a 1 b 2 (m 11 + m 22 ) + a 2 b 1 (−m 11 − m 22 ) + a 2 b 2 (m 12 − m 12 )
= (m 11 + m 22 )(a 1 b 2 − a 2 b 1 )
= (spurM)(a ∧ b).
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