Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

wobei q u ɛ (t 0 ) = q u ɛ (t 0 , t 0 ) und q s ɛ(t 0 ) = q s ɛ(t 0 , t 0 ) die Punkte auf W u (p t 0 ɛ ) und W s (p t 0 ɛ ) sind,
welche auf der Normalen
f ⊥ (q 0 (0)) = (−f 2 (q 0 (0)), f 1 (q 0 (0))) T
an den ungestörten homoklinen Orbit in q 0 (0) liegen. Siehe Abbildung 31.
W
u
( p )
ε
p
ε
p
0
q
s
ε
q
u
ε
W
s
( )
p ε
f(q 0
)
Aus dem obigen Lemma folgt
Abbildung 31: Berechnung der Melnikovfunktion.
d(t 0 ) = ɛ f(q0 (0)) ∧ (q u 1 (t 0) − q s 1 (t 0))
‖f(q 0 (0))‖
+ O(ɛ 2 ).
Dabei ist a∧b = a 1 b 2 −a 2 b 1 und f(q 0 (0))∧(q u 1 (t 0)−q s 1 (t 0)) die Projektion von (q u 1 (t 0)−q s 1 (t 0))
auf f ⊥ (q 0 (0)).
Um den Ausdruck d(t 0 ) berechnen zu können, definieren wir die Melnikovfunktion
M(t 0 ) =
∫ ∞
−∞
f(q 0 (t − t 0 )) ∧ g(q 0 (t − t 0 ), t)dt.
Theorem 6.20 Wenn M(t 0 ) einfache Nullstellen besitzt, dann schneiden sich W u (p t 0 ɛ ) und
W s (p t 0 ɛ ), für ɛ > 0 hinreichend klein, transversal. Wenn M(t 0 ) von Null wegbeschränkt ist,
gilt W u (p t 0 ɛ ) ∩ W s (p t 0 ɛ ) = ∅.
Beweis: Wir definieren
Wir erhalten
∆(t, t 0 ) = f(q 0 (t − t 0 )) ∧ (q u 1 (t, t 0) − q s 1 (t, t 0))
= ∆ u (t, t 0 ) − ∆ s (t, t 0 ).
d
dt ∆s (t, t 0 ) = Df(q 0 (t − t 0 )) ˙q 0 (t − t 0 ) ∧ q s 1(t, t 0 ) + f(q 0 (t − t 0 )) ∧ ˙q s 1(t, t 0 ).
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