Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

k
f (S)
W
u
p
ε
W
s
q
ε
S
Abbildung 30: Smalesche Hufeisenabbildung bei Vorliegen eines homoklinen transversalen Punktes.
Funktion H : R 2 → R, so dass f 1 = ∂H
∂v
und f 2 = − ∂H
∂u .
Wie wir bereits gesehen haben, besitzt die Poincaré-Abbildung Π ɛ des gestörten Systems einen
hyperbolischen Sattelpunkt p ɛ = p 0 + O(ɛ), welcher in im erweiterten Phasenraum R 2 × S 1
einer periodischen Lösung γ ɛ (t) = p 0 + O(ɛ) entspricht.
Lemma 6.19 Die lokalen stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten W s
loc (γ ɛ) und W u
loc (γ ɛ)
sind C r -nahe an denen des ungestörten periodischen Orbits p 0 × S 1 . Trajektorien q s ɛ (t, t 0) und
q s ɛ(t, t 0 ), welche in W s (γ ɛ ) und W u (γ ɛ ) liegen, können wie folgt ausgedrückt werden. Es gilt
q s ɛ(t, t 0 ) = q 0 (t − t 0 ) + ɛq s 1(t, t 0 ) + O(ɛ 2 ), t ∈ [t 0 , ∞)
q u ɛ (t, t 0) = q 0 (t − t 0 ) + ɛq u 1 (t, t 0) + O(ɛ 2 ), t ∈ (−∞, t 0 ]
gleichmäßig auf den angegeben Intervallen.
Beweis: Die Behauptung über die lokalen Mannigfaltigkeiten folgt unmittelbar aus der Theorie
der invarianten Mannigfaltigkeiten. Siehe [Van89].
Die Abschätzung für qɛ s(t, t 0) folgt mit Hilfe der Gronwallschen Gleichung unter Beachtung,
dass nach einer endlichen Zeit die Lösung mit einer exponentiellen Rate in den Fixpunkt gezogen
wird. Durch Umdrehen der Zeit folgt die Behauptung für qɛ u(t, t 0).
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Wir betrachten nun Poincaré-Abbildungen P t 0
ɛ : Σ t 0
→ Σ t 0
, wobei Σ t 0
= {(x, t) | t = t 0 ∈
[0, 2π]}. Dann definieren wir den Abstand der Mannigfaltigkeiten W u (p t 0 ɛ ) und W s (p t 0 ɛ ) in der
Schnittebene Σ t 0
bezüglich des Punktes q 0 (0) durch
d(t 0 ) = q u ɛ (t 0) − q s ɛ (t 0),
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