Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖
iii) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖
Im R d werden meist verwendet:
Die l 1 -Norm ‖x‖ 1 = ∑ d
j=1 |x j|, die euklidische Norm oder l 2 -Norm ‖x‖ 2 = (x T x) 1/2 =
( ∑ d
j=1 |x j| 2 ) 1/2 und die l ∞ , Supremums- oder Maximumsnorm ‖x‖ ∞ = sup j=1,...,d |x i |.
Wir bemerken, dass im R d bzw. in C d alle Vektornormen äquivalent sind, d.h. für je zwei Vektornormen
‖ · ‖ und ‖ · ‖˜gibt es α, β > 0, so dass für alle x ∈ R d (C d ) gilt
α‖x‖ ≤ ‖x‖˜ ≤ β‖x‖.
Die d × d-Matrizen bilden einen Vektorraum der Dimension d 2 . Sie bilden mit der zusätzlichen
Multiplikationsstruktur A · B eine Algebra. Alle im folgenden auftretenden Matrixnormen
erfüllen
‖A · B‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖,
d.h. die Matrizen bilden bezüglich der Multiplikation eine Banachalgebra. Eine wichtige Matrixnorm
ist durch
{ }
‖Ax‖
‖A‖ ∗ = sup
‖x‖ | x ∈ Rd /{0}
gegeben. Matrixnorm und Vektornorm heißen verträglich, wenn
‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖. (gilt für ‖ · ‖ ∗ ).
Beispiele verträglicher Vektor und Matrixnormen sind
‖ · ‖ = ‖ · ‖ 1 , ‖A‖ ∗ = sup
k=1,...,d
‖ · ‖ = ‖ · ‖ 2 , ‖A‖ ∗ = (
d∑
|a jk |
j=1
d∑
|a jk | 2 ) 1/2
i,j=1
‖ · ‖ = ‖ · ‖ ∞ , ‖A‖ ∗ = sup
j=1,...,d
d∑
|a jk |.
k=1
Weiter gilt
∫ t ∫ t
‖ x(τ)dτ‖ ≤ ‖x(τ)‖dτ.
t 0 t 0
Im folgenden verwenden wir stets verträgliche Normen.
2.2 Lineare Systeme
2.2.1 Allgemeine Betrachtungen
Die rechte Seite von (5) ist Lipschitz-stetig, denn es gilt
‖(A(t)x + g(t)) − (A(t)y + g(t))‖ = ‖A(t)(x − y)‖ ≤ ‖A(t)‖‖(x − y)‖.
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