Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

i) Λ enthält eine abzählbare Menge periodischer Lösungen jeder Periode.
ii) Λ enthält einen dichten Orbit.
iii) Λ enthält eine überabzählbare Menge nichtperiodischer, beschränkter Lösungen.
Wir zeigen nun wie bei der Existenz eines transversalen Schnittes der stabilen und instabilen
Mannigfaltigkeit eine Hufeisenabbildung gefunden werden kann und so chaotisches Verhalten
folgt.
Theorem 6.17 (Das Smale-Birkhoff homokline Orbit Theorem) Sei f : R d → R d ein Diffeomorphismus,
so dass p ein hyperbolischer Fixpunkt ist und ein q ≠ p ein weiterer Punkt in
dem sich die stabile Mannigfaltigkeit W s (p) und die instabile Mannigfaltigkeit W u (p) transversal
schneiden. Dann besitzt f eine (hyperbolische) Menge Λ auf der eine Iterierte von f
homöomorph zur Shiftabbildung ist.
Bemerkung 6.18 Eine unter f invariante Menge Λ besitzt eine hyperbolische Struktur, wenn
es eine stetige invariante Zerlegung der Tangentialräume T Λ R d = EΛ u ⊕ Es Λ mit der folgenden
Eigenschaft gibt: Es existieren Konstanten C > 0 und λ ∈ (0, 1) mit
i) |Df −n (x)v| ≤ Cλ n |v|, wenn v ∈ E u x.
i) |Df n (x)v| ≤ Cλ n |v|, wenn v ∈ E s x.
Beweisskizze im R 2 : Die Idee beruht darauf, für eine Iterierte von f ein Bild zu finden, welches
dem obigen Bild der Hufeisenabbildung entspricht. Dazu sei o.B.d.A. der Sattelpunkt p im
Ursprung.
Nach dem Satz von Hartman-Grobman besitzt der Sattelpunkt (x, y) = (0, 0) eine Umgebung,
in der nach der Koordinatentransformation die Dynamik durch
x n+1 = λx n , y n+1 = µy n
mit |µ| > 1 > |λ| gegeben ist. Da wir an Systemen interessiert sind, die von periodischen
Störungen gewöhnlicher Differentialgleichungen kommen, setzen wir voraus, dass µ, λ positiv
sind.
Wir betrachten dann die Menge
S = {(x, y) ∈ R 2 | 0 ≤ x ≤ δ, |y| ≤ δ}
für δ > 0 hinreichend klein. Die k-te Iterierte für k hinreichend groß ist in Abbildung 30 skizziert.
Damit haben wir die Smalesche Hufeisenabbildung bei Vorliegen eines homoklinen transversalen
Punktes gefunden.
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Es bleibt zu zeigen, dass sich die stabile und instabile Mannigfaltigkeit bei den von uns betrachteten
Differentialgleichungen tatsächlich transversal schneiden. Der Einfachheit halber, wollen
wir annehmen, dass die ungestörte Gleichung ein Hamiltonsches System ist, d.h. es gibt eine
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