Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

H ij . Als Bild der zweifachen Iteration ergeben sich nun vertikale Streifen V ij = f 2 (H ij ). Siehe
Abbildung 29.
V V V V
00 10
11 01
H
10
H
11
f
f
H
01
H
00
Abbildung 29: Iteration der Hufeisenabbildung.
Setzen wir diese Konstruktion fort und schneiden alle so erhaltenen vertikalen und horizontalen
Streifen, so ergibt sich eine abgeschlossene, nicht leere, nirgends zummenhängende Menge Λ.
Da jeder Punkt in Λ ein Häufungspunkt aus Punkten aus Λ ist, handelt es sich bei Λ um eine
Cantormenge.
Bemerkung 6.15 Diese Konstruktion ist robust unter Störungen, die in C 1 klein sind.
Jedem Punkt x ∈ Λ kann damit in eindeutiger Weise eine unendliche Folge a : Z → R zugewiesen
werden, nämlich φ(x) = {a i } ∞ i=−∞ mit f i (x) ∈ H ai .
Es ist φ(f(x)) = {b i } ∞ i=−∞ mit f i+1 (x) ∈ H bi . Damit ist f i (x) ∈ H bi−1 = H ai und so b i = a i+1 ,
womit also φ ◦ f = σ ◦ φ gilt. Damit kann die Shiftabbildung in der Smaleschen Hufeisenabbildung
gefunden werden.
Es bleibt die Stetigkeit von φ : Λ → M zu zeigen. Sei x ∈ Λ gegeben. Dann bleibt zu zeigen,
dass es für alle ɛ > 0 ein δ > 0, so dass d(φ(x), φ(y)) < ɛ aus ‖x−y‖ < δ folgt. Zu gegebenem
ɛ > 0 gibt es ein j 0 = j 0 (ɛ), dass d(a, b) ≤ ɛ bedeutet, dass a j = b j für |j| ≤ j 0 und beliebig
für |j| > j 0 . Die Forderung d(φ(x), φ(y)) < ɛ legt damit eindeutig zwei endliche Folgen
a + = {a i } j 0
j=0 und a − = {a i } −1
j=−j 0 −1 fest. Zu dieser Folge gehören eindeutig Streifen V a − und
H a +. Wählen wir δ > 0 so klein, dass y ∈ V a + ∩ H a − aus ‖y − x‖ ≤ δ folgt, sind wir fertig. Da
die Stetigkeit von φ −1 analog folgt, gilt damit
Lemma 6.16 Es gibt eine bijektive Abbildung φ zwischen Λ und M, so dass die Folge b =
φ(f(x)) aus a = φ(x) durch einen Shift der Indizes, b i = a i+1 erhalten wird. Die Abbildung φ
ist Homöomorphismus zwischen den metrischen Räumen (M, d) und (Λ, ‖ · ‖).
Konsequenz: Die Hufeisenabbildung f besitzt eine invariante Cantor Menge Λ, so dass
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