Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

q ε
p
ε
Abbildung 27: Unendlich viele Schnitte der invarianten Mannigfaltigkeiten.
V V
0 1
H 1
H 0
Abbildung 28: Smalesche Hufeisenabbildung.
Die Menge S wird durch f in zwei vertikale Streifen V 0 und V 1 abgebildet.
Das inverse Bild dieser Abbildung bildet S in zwei horizontale Streifen H 0 und H 1 ab. Auf H j ,
j ∈ {0, 1} besitzt die Abbildung f die Linearisierung
( )
±λ 0
, (+ auf H 0 , − auf H 1 )
0 ±µ
mit λ ∈ (0, 1/2) und µ > 2.
Unter der Iteration f verlassen die meisten Punkte die Menge S. Die Punkte, welche unter allen
Iterationen von f in S in S bleiben, definieren eine Menge
Λ = {x | f i (x) ∈ S, −∞ < i < ∞}
Die Menge Λ weist eine komplizierte topologische Struktur auf. Jedes horizontale Band H i
wird durch f in das vertikale Band V i = f(H i ) abgebildet.
Wir betrachten den Schnitt V i ∩ H j . Die so erhaltenen Mengen kommen von dünneren Streifen
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