Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Voraussetzung keine Eigenwerte λ j (0) auf der imaginären Achse hat. Damit sind die Eigenwerte
von D x G(p 0 , 0) durch e 2πλ j(0) − 1 ≠ 0 gegeben. Als Konsequenz ist damit D x G(p 0 , 0)
invertierbar.
Wegen i) und ii) kann der Satz über implizite Funktionen angewandt werden und G(x, ɛ) = 0
in der Nähe von (p 0 , 0) nach x = p ɛ aufgelöst werden, womit die Behauptung folgt. □
Die Eigenwerte µ j (ɛ) der Linearisierung D x Π ɛ | x=pɛ erfüllen µ j (ɛ) = e 2πλj(0) + O(ɛ). Damit
ist p ɛ ein hyperbolischer Sattelpunkt der Iteration x n+1 = Π ɛ (x n ). Zu diesem Fixpunkt x = p ɛ
existiert folglich eine stabile und eine instabile Mannigfaltigkeit W s,ɛ (p ɛ ) bzw. W u,ɛ (p ɛ ). Diese
liegen für kleines ɛ > 0 und für x → ∞ bzw. für x → −∞ in der Nähe der Mannigfaltigkeiten
für ɛ = 0. Für ɛ > 0 besteht die Möglichkeit, dass sich diese Mannigfaltigkeiten transversal
schneiden. Dieser Schnittpunkt sei q = q(ɛ). Siehe Abbildung 26.
Da die stabile und instabile Mannigfaltigkeit invariant unter Π ɛ sind, muß jede Vorwärts und
p
ε
p
0
q
ε
Abbildung 26: Transversaler homokliner Punkt q.
Rückwärtsiterationen von q = q(ɛ) wieder in diesen Mannigfaltigkeiten liegen, d.h.
Π j ɛ(q) ∈ W s,ɛ (p ɛ ) und Π j ɛ(q) ∈ W u,ɛ (p ɛ )
für j ∈ Z. Damit schneiden sich diese Mannigfaltigkeiten unendlich oft und es ergibt sich
Abbildung 27.
In dieser Situation liegt chaotisches Verhalten vor. Dies definieren wir wie in Abschnitt 4.3
mittels Shiftdynamik. Der Nachweis chaotischen Verhaltens in gewöhnlichen Differentialgleichungen
läuft meist über den Nachweis einer Smaleschen Hufeisenabbildung
Einschub: Smale’s Horseshoe
Dieses zweidimensionale Dynamische System ist entsprechend der folgenden geometrischen
Konstruktion definiert.
Wir beginnen mit dem Einheitsquadrat S = [0, 1] × [0, 1] in der Ebene und definieren eine Abbildung
f : S → R 2 , so dass f(S)∩S aus zwei Komponenten besteht. Die genaue Konstruktion
findet sich in Abbildung 28. Die Abbildung f ist eine Streckung in vertikaler Richtung mit Faktor
µ und eine Kontraktion in horizontaler Richtung mit Faktor λ mit anschließender Faltung.
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