Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

mit 0 ≤ ɛ ≪ 1 ein kleiner Parameter. Im zweiten System identifizieren wir die Fixpunkte
(−π, 0) und (π, 0) durch betrachten von S 1 × R anstelle von R 2 als Phasenraum. Die heteroklinen
Verbindungen werden dadurch zu homoklinen Lösungen.
Die zeitlich periodische Störung dieser Systeme untersuchen wir dadurch, dass wir die Zeit
2π-Abbildung
Π ɛ : x 0 ↦→ x ɛ (2π, x 0 ) = x ɛ (2π, 0, x 0 )
betrachten. Für t = 2πn + s mit s ∈ (0, 2π) gilt
x ɛ (t, x 0 ) = x ɛ (s, x ɛ (2π, x ɛ (2π, (. . . (x ɛ (2π, x 0 ) . . .))))))
= x ɛ (s, ·) ◦ Π n ɛ (x 0).
Damit reicht es im folgenden zur Untersuchung der Dynamik, Iterationen der Abbildung Π ɛ zu
betrachten. Die Abbildung x ɛ (s, ·) mit s ∈ [0, 2π) stellt eine Koordinatentransformation dar.
Allgemein betrachten wir
)
(
u
v
ẋ = f(x) + ɛg(x, t), x =
mit g(x, t) = g(x, t + 2π) und x(t) ∈ R 2 . Von
( )
f1 (x)
f =
f 2 (x)
und g =
(
g1 (x, t)
)
g 2 (x, t)
wollen wir voraussetzen, dass diese mindestens in C 2 sind.
Weiter wollen wir voraussetzen, dass das ungestörte System einen homoklinen Orbit Γ : t ↦→
q 0 (t) an einen hyperbolischen Sattelpunkt p 0 besitzt. Das gleiche ist damit für die Iteration der
Poincaré-Abbildungen x n+1 = Π 0 (x n ) für ɛ = 0 wahr, d.h. am Fixpunkt Π 0 (p 0 ) = p 0 hängt die
homokline Lösung Γ.
Wir wollen nun untersuchen, wie das Bild für ɛ ≠ 0 aussieht.
Der Fixpunkt p 0 kann mittels des Satzes über implizite Funktionen auch für ɛ > 0 fortgesetzt
werden. Es gilt
Lemma 6.14 Für ɛ > 0 besitzt die Iteration x n+1 = Π ɛ (x n ) einen eindeutigen Fixpunkt p ɛ mit
p ɛ = p 0 + O(ɛ).
Beweis: Wir suchen Nullstellen der Abbildung G : R 2 × R + → R 2 definiert durch
G(x, ɛ) = Π ɛ (x) − x.
Es ist i) G(p 0 , 0) = 0. ii) Die Linearisierung D x G(p 0 , 0) von G an (p 0 , 0) ist invertierbar, denn:
zu ii) Es ist D x G(p 0 , 0) = D x Π 0 (p 0 ) − I und D x Π 0 (p 0 ) = e A2π , wobei A = D x f| x=p0
nach
85