Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Abbildung 25: Verschiedene ω-Limesmengen.
von V liegen innerhalb B R (0) = {x ∈ R d |‖x‖ ≤ R}. Damit gibt es für jede Anfangsbedingung
x 0 ∈ R d eine Zeit T ≥ 0, so dass x(t, x 0 ) ∈ B R (0) für alle t ≥ T . Die Kugel B R (0) heißt
absorbierend. Besitzt V nur endlich viele Extremstellen, so gilt offensichtlich:
Lemma 6.11 Unter diesen Voraussetzungen besteht die ω-Limesmenge eines jeden Orbits γ
aus genau einem Fixpunkt.
Bemerkung 6.12 Bei Potentialen V mit unendlich vielen Fixpunkten, kann die ω-Limesmenge
aus unendlich vielen Fixpunkten bestehen.
Bemerkung 6.13 Gradientensysteme, bei denen alle Fixpunkte hyperbolisch (d.h. keine Eigenwerte
auf der imaginären Achse besitzen (dies impliziert die Isoliertheit der Fixpunkte))
und alle Schnitte von stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten transversal sind, (d.h. die Tangentialebenen
spannen ganz R d auf) sind strukturell stabil (d.h. diese Struktur geht bei kleinen
Störungen nicht verloren). Siehe [Pal82].
6.2 Melnikov-Chaos
Wir betrachten hier zweidimensionale autonome Differentialgleichungen mit einer homoklinen
Verbindung. Werden solche Systeme zeitlich periodisch gestört, so kann chaotisches Verhalten
auftreten. Typische Beispiele sind:
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = x 1 − x 3 1 + ɛ(γ cos ωt − δx 2)
oder
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = − sin x 1 + ɛ(γ cos t − δx 2 )
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