Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Abbildung 24: Schnitt der Lösung mit der Transversalen.
Lemma 6.6 Die ω-Limesmenge eines Orbits γ(p) kann das Innere einer Transversale nur in
einem Punkt schneiden.
Mittels dieser Vorüberlegungen beweisen wir nun den Satz von Poincaré-Bendixson.
Theorem 6.7 Betrachte ẋ = f(x) mit f ∈ C 1 (R 2 , R 2 ) und es sei γ + ein beschränkter positiver
Orbit, wobei ω(γ) keine Fixpunkte enthalten soll. Dann ist ω(γ) ein periodischer Orbit.
Bemerkung 6.8 Ist ω(γ) ≠ γ, so heißt der periodische Orbit Grenzzykel.
Beweis: Sei x 0 ∈ ω(γ). Da ω(γ) keine Fixpunkte enthält, gibt es eine Transversale l durch
diesen Punkt. Schneidet γ + die Transversale l nur einmal, so muß γ = ω(γ) und damit ein
periodischer Orbit sein.
Schneidet γ + die Transversale l mehr als einmal, so gibt es unendlich viele Schnitte und γ ∩
ω(γ) = ∅. Da ω(γ) keine Fixpunkte enthält und x 0 ∈ ω(γ) beliebig war, muß ω(γ) aus einem
periodischen Orbit bestehen.
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Beispiel 6.9 Siehe Abbildung 25.
Bemerkung 6.10 Wie wir bereits gesehen haben, ist der Satz von Poincaré-Bendixson auf
dem Torus falsch, da es dort quasiperiodische Orbits geben kann, die den ganzen Torus als
ω-Limesmenge besitzen.
Gradientensysteme:
Im folgenden betrachten wir autonome Gradientensysteme ẋ = −∇V (x) mit Potentialfunktion
V ∈ C 2 (R d , R) und x(t) ∈ R d . Jede Extremstelle von V ist ein Fixpunkt der Differentialgleichung.
Da V entlang von Lösungen abnimmt, können Gradientensysteme keine periodischen
Lösungen und keine geschlossenen heteroklinen Verbindungen besitzen. Da ∇V senkrecht auf
den Tangentialebenen der Äquipotentialflächen {x ∈ R d | V (x) = h} steht, werden diese durch
die Lösungen immer senkrecht durchstoßen.
Ein typische Situation ist wie folgt: Es gilt V (x) → ∞ für ‖x‖ → ∞ und alle Extremstellen
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