Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

6 Homokline und heterokline Lösungen
Wir interessieren uns nun für das globale Verhalten der Lösungen von Differentialgleichungen.
Hier spielen homokline und heterokline Lösungen eine wichtige Rolle. In der Nähe homokliner
Lösungen kann chaotisches Verhalten gefunden werden. Eine Lösung x = x(t) einer
autonomen Differentialgleichung heißt heterokline Verbindung der Fixpunkte x − und x + , falls
lim t→±∞ x(t) = x ± . Sie heißt homoklin, falls x − = x + . Eine heterokline Verbindung x = x(t)
muß daher im Schnitt der instabilen Mannigfaltigkeit W u (x − ) von x − und der stabilen Mannigfaltigkeit
W s (x + ) von x + liegen.
6.1 ω-Limesmengen, Ebene Systeme, Gradientensysteme
Zunächst möchten wir formalisieren, was wir unter dem Langzeitverhalten der Lösungen gewöhnlicher
Differentialgleichungen verstehen.
Eine Lösung x = x(t) von ẋ = f(x) mit x(0) = x 0 ergibt im Phasenraum einen Orbit oder
eine Trajektorie, welche wir mit γ(x 0 ) bezeichnen. Ist x(t 1 ) = x 1 , so gilt γ(x 0 ) = γ(x 1 ). Wir
setzen
γ + (x 0 ) = {x ∈ R d | ∃t ≥ 0 : x = x(t, x 0 )} und γ − (x 0 ) = {x ∈ R d | ∃t ≤ 0 : x = x(t, x 0 )}.
Damit ist γ(x 0 ) = γ + (x 0 ) ∪ γ − (x 0 ).
Definition 6.1 Ein Punkt p ∈ R d heißt positiver Limespunkt von γ(x 0 ), wenn es eine Folge
(t n ) n∈N mit t n ≤ t n+1 und t n → ∞ gibt, so dass lim tn→∞ x(t n ) = p gilt. Die Menge aller
positiven Limespunkte eines Orbits γ wird als ω-Limesmenge bezeichnet. Die Menge der
entsprechend definierten negativen Limespunkte wird als α-Limesmenge bezeichnet.
Beispiel 6.2 Betrachte
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 .
Ist p ∈ γ(x 0 ), dann ist p auch positiver und negativer Limespunkt. Setze t n = t 0 + 2πn, wenn
x(t 0 ) = p. Dann gilt lim tn→∞ x(t n ) = lim tn→∞ p = p
Theorem 6.3 Die Mengen α(γ) und ω(γ) sind abgeschlossen und invariant. Ist γ + beschränkt,
dann ist die ω-Limesmege kompakt, zusammenhängend und nicht leer.
Beweis: a) ω(γ) als Menge der Limespunkte ist abgeschlossen.
b) Zur Invarianz: Sei p ∈ ω(γ). Dann gibt es eine Folge t n → ∞, so dass lim tn→∞ x(t n ) = p.
Zu zeigen ist nun: x(t, p) ∈ ω(γ). Da x(t + t n , x 0 ) = x(t, x(t n , x 0 )) folgt im Limes n → ∞,
dass
x(t + t n , x 0 ) → x(t, p),
womit die Behauptung γ(p) ⊂ ω(γ) folgt.
c) Mit γ + ist offensichtlich auch ω(γ) beschränkt. Da nach a) ω(γ) abgeschlossen ist, folgt die
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