Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

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Damit haben wir ein System, welches wir für kleines µ untersuchen können. (Beachte r = O( √ µ) für die bifurkierenden Lösungen). Den endgültigen Existenznachweis der periodischen Lösungen wollen wir im folgenden nur kurz skizzieren. Für das abgeschnitte System finden wir die periodische Lösung r 2 = µ/γ r . ṙ = µr − γ r r 3 ˙φ = −1 Zu dieser Lösung konstruieren wir die dazugehörige Poincaré-Abbildung Π. Die periodische Lösung entspricht einem Fixpunkt von Π. Nach dem Satz über implizite Funktionen bleibt dieser Fixpunkt bei Hinzunahme der vernachlässigten Terme erhalten. Damit haben wir für das volle System eine periodische Lösung gefunden. □ 80
6 Homokline und heterokline Lösungen Wir interessieren uns nun für das globale Verhalten der Lösungen von Differentialgleichungen. Hier spielen homokline und heterokline Lösungen eine wichtige Rolle. In der Nähe homokliner Lösungen kann chaotisches Verhalten gefunden werden. Eine Lösung x = x(t) einer autonomen Differentialgleichung heißt heterokline Verbindung der Fixpunkte x − und x + , falls lim t→±∞ x(t) = x ± . Sie heißt homoklin, falls x − = x + . Eine heterokline Verbindung x = x(t) muß daher im Schnitt der instabilen Mannigfaltigkeit W u (x − ) von x − und der stabilen Mannigfaltigkeit W s (x + ) von x + liegen. 6.1 ω-Limesmengen, Ebene Systeme, Gradientensysteme Zunächst möchten wir formalisieren, was wir unter dem Langzeitverhalten der Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen verstehen. Eine Lösung x = x(t) von ẋ = f(x) mit x(0) = x 0 ergibt im Phasenraum einen Orbit oder eine Trajektorie, welche wir mit γ(x 0 ) bezeichnen. Ist x(t 1 ) = x 1 , so gilt γ(x 0 ) = γ(x 1 ). Wir setzen γ + (x 0 ) = {x ∈ R d | ∃t ≥ 0 : x = x(t, x 0 )} und γ − (x 0 ) = {x ∈ R d | ∃t ≤ 0 : x = x(t, x 0 )}. Damit ist γ(x 0 ) = γ + (x 0 ) ∪ γ − (x 0 ). Definition 6.1 Ein Punkt p ∈ R d heißt positiver Limespunkt von γ(x 0 ), wenn es eine Folge (t n ) n∈N mit t n ≤ t n+1 und t n → ∞ gibt, so dass lim tn→∞ x(t n ) = p gilt. Die Menge aller positiven Limespunkte eines Orbits γ wird als ω-Limesmenge bezeichnet. Die Menge der entsprechend definierten negativen Limespunkte wird als α-Limesmenge bezeichnet. Beispiel 6.2 Betrachte ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −x 1 . Ist p ∈ γ(x 0 ), dann ist p auch positiver und negativer Limespunkt. Setze t n = t 0 + 2πn, wenn x(t 0 ) = p. Dann gilt lim tn→∞ x(t n ) = lim tn→∞ p = p Theorem 6.3 Die Mengen α(γ) und ω(γ) sind abgeschlossen und invariant. Ist γ + beschränkt, dann ist die ω-Limesmege kompakt, zusammenhängend und nicht leer. Beweis: a) ω(γ) als Menge der Limespunkte ist abgeschlossen. b) Zur Invarianz: Sei p ∈ ω(γ). Dann gibt es eine Folge t n → ∞, so dass lim tn→∞ x(t n ) = p. Zu zeigen ist nun: x(t, p) ∈ ω(γ). Da x(t + t n , x 0 ) = x(t, x(t n , x 0 )) folgt im Limes n → ∞, dass x(t + t n , x 0 ) → x(t, p), womit die Behauptung γ(p) ⊂ ω(γ) folgt. c) Mit γ + ist offensichtlich auch ω(γ) beschränkt. Da nach a) ω(γ) abgeschlossen ist, folgt die 81
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Gewöhnliche Differentialgleichunge
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2
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Im nichtautonomen Fall lautet dies
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Geschichte: Die Beschreibung der Me
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ii) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ iii)
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Ist g ≡ 0, so gilt: x(t) = c 1 x
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Die Exponentialreihe e At kann wie
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2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2 -1
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ε δ x=x(t) x 0 x 1 Abbildung 4: S
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Betrachte das autonome System ẋ =
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Dieses Lemma gilt allgemein für T
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Unteraum. Wie bei Differentialgleic
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3 Nichtlineare Systeme Wir betracht
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nur aufhören zu existieren, falls
Seite 29 und 30: Ist f differenzierbar, so hängt di
Seite 31 und 32: Beweis: Die Differenz r(t) = x(t)
Seite 33 und 34: Theorem 3.16 Sei f : R d × [t 0 ,
Seite 35 und 36: und für die gesuchte Näherung spe
Seite 37 und 38: und somit die Konvergenz der Lösun
Seite 39 und 40: Beweis: Zum Nachweis dieses Satzes
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Seite 59 und 60: ii) Die periodische Lösung heißt
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