Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

2 Lineare Systeme und Strukturen
Lineare Systeme
ẋ = A(t)x + g(t) (5)
spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Gewöhnlichen Differentialgleichungen. Dabei ist
• x = x(t) = (x 1 (t), . . . , x d (t)) T ∈ R d .
• A = A(t) ∈ R d×d eine d × d-Matrix mit Komponenten a ij (t).
• g = g(t) = (g 1 (t), . . . , g d (t)) T ∈ R d eine Inhomogenität.
• t ∈ (α 0 , β 0 ) = I 0 ⊂ R mit −∞ ≤ α 0 < β 0 ≤ ∞.
Die lineare Differentialgleichung (5) heißt homogen, falls g(t) ≡ 0, d.h.
ẋ = A(t)x (6)
Wir setzen voraus, dass A und g im folgenden stetig von t ∈ I 0 abhängen sollen.
Wir zeigen, dass die Lösungen von (5) einen d-dimensionalen affinen Raum und die Lösungen
von (6) einen d-dimensionalen Vektorraum bilden.
Neben der Untersuchung linearer Systeme mit a) konstanten Koeffizienten, welche explizit
gelöst werden können, interessieren wir uns für Systeme mit b) periodischen Koeffizienten
(Floquet-Theorie). Für Systeme, welche c) asymptotisch gegen den konstanten Koeffizientenfall
konvergieren, verweisen wir auf die Literatur über exponentielle Dichotomien.
Diese Untersuchungen sind wichtig für den nichtlinearen Fall, da in zahlreichen Fällen die Stabilität
eines Fixpunktes (Fall a)) oder einer periodischen Lösung (Fall b)) unter Störungen allein
durch das Verhalten der dazugehörigen Linearisierung beantwortet werden kann. Siehe Kapitel
4. Der Fall c) taucht bei der Linearisierung um homokline oder heterokline Lösungen auf und
spielt bei der Untersuchung chaotischen Verhaltens eine gewisse Rolle.
Ein weiteres Ziel ist es erste Bekanntschaft mit Begriffen und Strukturen, wie z.B. Stabilität,
Symmetrien oder Lyapunovfunktionen zu machen.
2.1 Bezeichnungen
Sei X ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Abbildung
‖ · ‖ :
{
X → R
x ↦→ ‖x‖
heißt Norm, wenn für alle x, y ∈ X und λ ∈ R(C) gilt
i) ‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 genau dann wenn x = 0
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