Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Zu α 30 a 3 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−3λ 1 − 0λ 2 + λ 1 = −3i + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 21 a 2 b: Diesmal ist die Nichtresonanzbedingung nicht erfüllt, denn
−2λ 1 − 1λ 2 + λ 1 = −2i − (−i) + i = 0
Damit kann dieser Term nicht wegtransformiert werden.
Zu α 12 ab 2 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−1λ 1 − 2λ 2 + λ 1 = −i − 2(−i) + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 03 b 3 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−0λ 1 − 3λ 2 + λ 1 = −3(−i) + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Das gleiche Abbildung ergibt sich für die kubischen Terme in der Gleichung für b. Dort können
alle Terme bis auf ab 2 wegtransformiert werden.
Damit ergibt sich nach den Normalformtransformationen h 2 und h 3 das System
ȧ = ia + γ a a 2 b + O(|a| 4 + |b| 4 )
ḃ = −ib + γ b ab 2 + O(|a| 4 + |b| 4 ),
mit Koeffizienten γ a = γ b nach den Transformationen, wenn das ursprüngliche System reell
war.
Zurück zum eigentlichen Beweis: In unserem Fall muß das obige System noch durch die
Terme mit µ und die Gleichung ˙µ = 0 ergänzt werden. Es ergibt sich dann
ȧ = ia + µa + iα 110 µa + γ a a 2 b + O(|µ 2 |(|a| + |b|) + |a| 4 + |b| 4 )
ḃ = −ib + µb − iα 110 µb + γ b ab 2 + O(|µ 2 |(|a| + |b|) + |a| 4 + |b| 4 ),
In den ursprünglichen x, y-Koordinaten ergibt sich
ẋ = y + µx + α 110 µy + γ r (x 2 + y 2 )x + γ i (x 2 + y 2 )y + O(|µ 2 |(|x| + |y|) + |x| 4 + |y| 4 )
ẏ = −x + µy − α 110 µx + γ r (x 2 + y 2 )y − γ i (x 2 + y 2 )y + O(|µ 2 |(|x| + |y|) + |x| 4 + |y| 4 ).
Führen wir Polarkoordinaten x = r cos φ und y = r sin φ ein, so erhalten wir
ṙ = µr − γ r r 3 + O(µ 2 r + r 4 ) (18)
˙φ = −1 − α 110 µ − γ i r 2 + O(µ 2 + r 3 )
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