Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Damit kann die Gleichung L A h m = g m in allen Eigenräumen gelöst werden, die nicht zu verschwindenden
Eigenwerten µ = 0 gehören. Diese Terme der Nichtlinearität g m können somit
wegtransformiert werden, wenn die Nichtresonanzbedingung
d∑
m k λ k − λ j ≠ 0 (17)
erfüllt ist. Die zu µ = 0 gehörenden Eigenwerte λ j von A heißen resonant.
k=1
( )
0 1
Beispiel 5.32 Wir betrachten die Matrix A =
. Diese besitzt die Eigenwerte λ 1 = i
−1 0
( ) ( )
i −i
und λ 2 = −i zu den Eigenvektoren und . Wir diagonalisieren die Matrix A
1 1
durch Einführen der Koordinaten a, b definiert durch
( ) ( ) ( )
x i −i
= a + b .
y 1 1
Es gilt damit folgendes System zu betrachten
ȧ = ia + α 20 a 2 + α 11 ab + α 02 b 2 + α 30 a 3 + α 21 a 2 b + α 12 ab 2 + α 03 b 3 + O(|a| 4 + |b| 4 )
ḃ = −ib + β 20 a 2 + β 11 ab + β 02 b 2 + β 30 a 3 + β 21 a 2 b + β 12 ab 2 + β 03 b 3 + O(|a| 4 + |b| 4 ).
Wir beginnen mit dem Wegtransformiern der quadratischen Terme.
Zu α 20 a 2 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−2λ 1 − 0λ 2 + λ 1 = −2i + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 11 ab: Die Nichtresonanzbedingung ist
−1λ 1 − 1λ 2 + λ 1 = −i − (−i) + i ≠ 0
Damit kann dieser Term wegtransformiert werden.
Zu α 02 b 2 : Die Nichtresonanzbedingung ist
−0λ 1 − 2λ 2 + λ 1 = −2(−i) + i ≠ 0
Damit kann auch dieser Term wegtransformiert werden. Analog können auch alle quadratischen
Terme in der Gleichung für b wegtransformiert werden.
Zu den kubischen Termen:
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