Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Beweis: Zunächst wenden wir den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz an und reduzieren das volle System auf ein Differentialgleichungssystem auf der zweidimensionalen Zentrumsmannigfaltigkeit M c tangential an den Unterraum E c zu den Eigenwerten λ ± . O.B.d.A. sei ω| µ=0 = 1 und dReλ ± dµ | µ=0 = µ, d.h. λ ± (µ) = i + µ + O(iµ + µ 2 ). Auf M c führen wir Koordinaten (y, z) ∈ R 2 ein, so dass sich das reduzierte System als ẏ = µy − z + a 101 µz +a 020 y 2 + a 011 yz + a 002 z 2 + a 030 y 3 + a 021 y 2 z + a 012 yz 2 + a 003 z 3 +O(µ 2 (|x| + |y|) + |y| 4 + |z| 4 ) ż = µz + y + b 110 µy +b 020 y 2 + b 011 yz + b 002 z 2 + b 030 y 3 + b 021 y 2 z + b 012 yz 2 + b 003 z 3 +O(µ 2 (|x| + |y|) + |y| 4 + |z| 4 ) mit reellwertigen Koeffizienten a ijk und b ijk schreiben läßt. Da dieses System in dieser Form nicht analysierbar ist, führen wir nacheinander Koordinatentransformationen durch, um ein einfacheres System zu erhalten. Einschub: Normalformtransformationen: Wir betrachten allgemein das autonome System für x(t) ∈ R d , einer d × d-Matrix A und ẋ = Ax + f(x) f(x) = f 2 (x) + f 3 (x) + f 4 (x) + . . . mit f m (kx) = k m f m (x) für alle k ≥ 0, d.h. f m ist ein Vektor im R d mit homogenen Polynomen vom Grad m in den Variablen x 1 , . . . , x d als Einträge. Damit ist ⎛ ⎞ f m1 f m = ⎜ ⎝ . ⎟ ⎠ f md ein Element des Vektorraums ⎧ ⎛ ⎪⎨ V m = u = ⎪⎩ ⎜ ⎝ ∑ m 1 +...+m d =m α1 m 1 ...m d x m 1 1 · . . . · x m d d . ∑ m 1 +...+m d =m αd m 1 ...m d x m 1 1 · . . . · x m d d ⎞ ⎟ ⎠ | αj m 1 ...m d ∈ R der vektorwertigen homogenen Polynome vom Grad m in den Variablen x 1 , . . . , x d . 76 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭
Wir suchen nun Koordinatentransformationen, welche es uns erlauben, möglichst viele Einträge der f m auf Null zu transformieren, um so ein möglichst einfaches System zu erhalten. Dazu machen wir den Ansatz x = y + h(y), wobei h(y) = h 2 (y) + h 3 (y) + h 4 (y) + . . . mit h m (ky) = k m h m (y) für alle k ≥ 0, d.h. h m ist ein Vektor im R d mit homogenen Polynomen vom Grad m in den Variablen y 1 , . . . , y d als Einträge. Wir erhalten und somit ẋ = ẏ + ∂h ẏ = A(y + h(y)) + f(y + h(y)) ∂y ẏ = (1 + ∂h ∂y )−1 [A(y + h(y)) + f(y + h(y))] = Ay − ∂h 2 ∂y Ay + Ah 2(y) + f 2 (y) + O(‖y‖ 3 ). Damit muß, um alle quadratischen Terme f 2 wegtransformieren zu können, ein h 2 gefunden werden, so dass − ∂h 2 ∂y Ay + Ah 2(y) + f 2 (y) = 0. Interpretieren wir h 2 als ein Element des Vektorraumes V 2 , so ist (L A h 2 )(y) = − ∂h 2 ∂y Ay + Ah 2(y) eine lineare Abbildung des V 2 in sich. (L A wirkt linear auf die Koeffizienten α m m 1 ...m d .) Allgemein gilt es zum Wegtransformieren der Terme m-ter Ordnung das lineare Gleichungsystem − ∂h m ∂y Ay + Ah m(y) + ˜f m (y) = 0 zu lösen, wobei ˜f m die nichtlinearen Terme vom Grad m nach Anwenden der Transformationen h 2 bis h m−1 sind. Für unsere Zwecke reicht es sich auf den Fall von diagonalisierbarem A einzuschränken, d.h. A = diag(λ 1 , . . . , λ d ). Im Raum V m besitzt dann die lineare Abbildung L A die Eigenvektoren y m 1 1 · . . . · y m d d e j, wobei e j der j-te Einheitsvektor des R d sei. Die dazugehörigen Eigenwerte sind durch µ = ∑ d k=1 m kλ k − λ j gegeben. Dazu betrachten wir die j-te Komponente d∑ k=1 ∂h mj ∂y k λ k y k − λ j h mj = µh mj der Eigenwertgleichung L A h m = µh m Einsetzen der obigen Eigenvektoren ergibt unmittelbar die Behauptung. 77
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Wir suchen nun Koordinatentransformationen, welche es uns erlauben, möglichst viele Einträge<br />
der f m auf Null zu transformieren, um so ein möglichst einfaches System zu erhalten. Dazu<br />
machen wir den Ansatz<br />
x = y + h(y),<br />
wobei<br />
h(y) = h 2 (y) + h 3 (y) + h 4 (y) + . . .<br />
mit h m (ky) = k m h m (y) für alle k ≥ 0, d.h. h m ist ein Vektor im R d mit homogenen Polynomen<br />
vom Grad m in den Variablen y 1 , . . . , y d als Einträge. Wir erhalten<br />
<strong>und</strong> somit<br />
ẋ = ẏ + ∂h ẏ = A(y + h(y)) + f(y + h(y))<br />
∂y<br />
ẏ = (1 + ∂h<br />
∂y )−1 [A(y + h(y)) + f(y + h(y))]<br />
= Ay − ∂h 2<br />
∂y Ay + Ah 2(y) + f 2 (y) + O(‖y‖ 3 ).<br />
Damit muß, um alle quadratischen Terme f 2 wegtransformieren zu können, ein h 2 gef<strong>und</strong>en<br />
werden, so dass<br />
− ∂h 2<br />
∂y Ay + Ah 2(y) + f 2 (y) = 0.<br />
Interpretieren wir h 2 als ein Element des Vektorraumes V 2 , so ist<br />
(L A h 2 )(y) = − ∂h 2<br />
∂y Ay + Ah 2(y)<br />
eine lineare Abbildung des V 2 in sich. (L A wirkt linear auf die Koeffizienten α m m 1 ...m d<br />
.)<br />
Allgemein gilt es zum Wegtransformieren der Terme m-ter Ordnung das lineare Gleichungsystem<br />
− ∂h m<br />
∂y Ay + Ah m(y) + ˜f m (y) = 0<br />
zu lösen, wobei ˜f m die nichtlinearen Terme vom Grad m nach Anwenden der Transformationen<br />
h 2 bis h m−1 sind.<br />
Für unsere Zwecke reicht es sich auf den Fall von diagonalisierbarem A einzuschränken, d.h.<br />
A = diag(λ 1 , . . . , λ d ). Im Raum V m besitzt dann die lineare Abbildung L A die Eigenvektoren<br />
y m 1<br />
1 · . . . · y m d<br />
d<br />
e j, wobei e j der j-te Einheitsvektor des R d sei. Die dazugehörigen Eigenwerte<br />
sind durch µ = ∑ d<br />
k=1 m kλ k − λ j gegeben. Dazu betrachten wir die j-te Komponente<br />
d∑<br />
k=1<br />
∂h mj<br />
∂y k<br />
λ k y k − λ j h mj = µh mj<br />
der Eigenwertgleichung L A h m = µh m Einsetzen der obigen Eigenvektoren ergibt unmittelbar<br />
die Behauptung.<br />
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