Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Beweis: Zunächst wenden wir den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz an und reduzieren das volle
System auf ein Differentialgleichungssystem auf der zweidimensionalen Zentrumsmannigfaltigkeit
M c tangential an den Unterraum E c zu den Eigenwerten λ ± . O.B.d.A. sei ω| µ=0 = 1
und
dReλ ±
dµ | µ=0 = µ,
d.h.
λ ± (µ) = i + µ + O(iµ + µ 2 ).
Auf M c führen wir Koordinaten (y, z) ∈ R 2 ein, so dass sich das reduzierte System als
ẏ = µy − z + a 101 µz
+a 020 y 2 + a 011 yz + a 002 z 2 + a 030 y 3 + a 021 y 2 z + a 012 yz 2 + a 003 z 3
+O(µ 2 (|x| + |y|) + |y| 4 + |z| 4 )
ż = µz + y + b 110 µy
+b 020 y 2 + b 011 yz + b 002 z 2 + b 030 y 3 + b 021 y 2 z + b 012 yz 2 + b 003 z 3
+O(µ 2 (|x| + |y|) + |y| 4 + |z| 4 )
mit reellwertigen Koeffizienten a ijk und b ijk schreiben läßt. Da dieses System in dieser Form
nicht analysierbar ist, führen wir nacheinander Koordinatentransformationen durch, um ein einfacheres
System zu erhalten.
Einschub: Normalformtransformationen: Wir betrachten allgemein das autonome System
für x(t) ∈ R d , einer d × d-Matrix A und
ẋ = Ax + f(x)
f(x) = f 2 (x) + f 3 (x) + f 4 (x) + . . .
mit f m (kx) = k m f m (x) für alle k ≥ 0, d.h. f m ist ein Vektor im R d mit homogenen Polynomen
vom Grad m in den Variablen x 1 , . . . , x d als Einträge. Damit ist
⎛ ⎞
f m1
f m = ⎜
⎝ . ⎟
⎠
f md
ein Element des Vektorraums
⎧ ⎛
⎪⎨
V m =
u =
⎪⎩
⎜
⎝
∑
m 1 +...+m d =m α1 m 1 ...m d
x m 1
1 · . . . · x m d
d
.
∑
m 1 +...+m d =m αd m 1 ...m d
x m 1
1 · . . . · x m d
d
⎞
⎟
⎠ | αj m 1 ...m d
∈ R
der vektorwertigen homogenen Polynome vom Grad m in den Variablen x 1 , . . . , x d .
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⎫
⎪⎬
⎪⎭