Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Beispiel 5.30 Wir betrachten das diskrete dynamische System
x n+1 = x n + x n y n , y n+1 = λy n − x 2 n
mit 0 < λ < 1. Es ergibt sich E c = {y = 0}. Zur Berechnung der Zentrumsmannigfaltigkeit
machen wir wie oben den Ansatz
y = h(x) = ax 2 + bx 3 + O(x 4 ).
Einsetzen ergibt mit y n+1 = ax 2 n+1 + bx3 n+1 + . . ., dass
a(x + x(ax 2 + . . .)) 2 + b(x + x(ax 2 + . . .)) 3 + . . . = λ(ax 2 + bx 3 + . . .) − x 2
und so durch Koeffizientenvergleich
Wir erhalten für die Reduktionsfunktion
und für die reduzierte Gleichung
x n+1 = x n −
a = − 1
1 − λ , b = 0.
x2
y = h(x) = −
1 − λ + O(x4 )
x3 n
1 − λ + O(x5 n ) = x n(1 − x2 n
1 − λ + O(x4 n )).
Damit ist x = 0 in der reduzierten Gleichung asymptotisch stabil, womit die asymptotische
Stabilität des Ursprungs (x, y) = (0, 0) im vollen System folgt.
Überqueren nun zwei konjugiert komplexe Eigenwerte die imaginäre Achse, so müssen für
die quadratischen Terme 6 Koeffizienten und für die kubischen Terme gar 8 Koeffizienten berechnet
werden. Die so erhaltene Näherungsgleichung zu analysieren, ist ohne weitergehende
Überlegungen im Prinzip nicht durchführbar. Hier helfen nun sogenannte Normalformtransformationen,
die es erlauben jedes so erhaltene System auf das bereits untersuchte System
ṙ = ∓r ± r 3 + . . . , ˙φ = 1 + . . . .
zurückzuführen. Wir wollen die Normalform- Methode anhand dieses Beispiels erklären und
dies zum Beweis des Satzes über Hopf- Bifurkationen verwenden.
Theorem 5.31 Betrachte die gewöhnliche Differentialgleichung ẋ = A µ x + g(x) mit x(t)∈R d
und ‖g(x)‖ = O(‖x‖ 2 ) für x → 0. Für µ = 0 besitze A µ die zwei Eigenwerte λ ± = ±iω
mit ω ≠ 0. Die restlichen Eigenwerte sollen echt negativen Realteil besitzen. Weiter gelte
dReλ ±
dµ | µ=0 ≠ 0. Wenn γ r ≠ 0 in (18), dann bifurkiert für µ = 0 aus dem Fixpunkt x = 0
eine einparametrige Familie periodischer Lösungen mit Periode nahe 2π/ω.
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