Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Die Konstruktion von stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten läuft analog. Im Fall der stabilen
Mannigfaltigkeit wird zum Beispiel die Abbildung
mit
z = Sx s + K s G(z)
im Raum
(Sx s )(t) = e At x s
(K s z)(t) =
∫ t
G(z)(t) = g(z(t))
Z + η
0
e A(t−τ) π s z(τ)dτ −
∫ ∞
t
e A(t−τ) π cu z(τ)dτ
= {z ∈ C0 (R + , R d ) | ‖z‖ η = sup e ηt ‖z(t)‖ < ∞}
t≥0
für x s ∈ E s betrachtet. Damit haben wir die Existenz der Mannigfaltigkeiten nachgewiesen.
Für weitere Details verweisen wir auf [Van89].
□
Bemerkung 5.27 Erstaunlicherweise ist G keine differenzierbare Funktion von Y η nach sich.
Sie ist k- mal stetig differenzierbar von Y η1 nach Y η2 , falls η 1 > kη 2 . Zur Motivation dieser
Aussage betrachten wir g(x) = x k und x(t) = e η|t| .
Zentrumsmannigfaltigkeiten M c sind zur Untersuchung von Instabilitäten von besonderem Interesse,
da in einer Umgebung alle Lösungen mit einer exponentiellen Rate O(e −βt ), (mit β von
oben) angezogen werden.
Theorem 5.28 Wir betrachten das modifizierte System (14) mit σ u = ∅. Dann gibt es eine
Konstante C, so dass für alle x 0 ∈ R d gilt: Es gibt ein t 0 ∈ R und x c ∈ M c , so dass
Beweis: Siehe [Van89].
‖x(t, x 0 ) − x(t − t 0 , x c )‖ ≤ Ce −βt .
Der Zentrumsmannigfaltigkeitensatz erlaubt es nun die Dimension bei Bifurkationsproblemen
ẋ = Ax + ˜f(x) auf die Dimension von E c zu reduzieren. Durch einen Potenzreihenansatz
x h = ψ(x c ) läßt sich die Differentialgleichung
x˙
c = Ax c + π c ˜f(xc + ψ(x c )) (16)
auf M c näherungsweise berechnen. Eine unmittelbare Folgerung des letzten Satzes ist
Korollar 5.29 Es sei σ u = ∅. Ist x c = 0 im reduzierten System (16) stabil bzw. instabil, so gilt
gleiches für x = 0 im vollen System.
□
74