Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Aus den so erhaltenen Bedingungen erhalten wir für x ∈ M c die Fixpunktbedingung x = Sx c + KG(x) (15) mit der Auswertungsabbildung und der linearen Abbildung (Sx c )(t) = e At x c , G(x)(t) = g(x(t)) (Ky)(t) = ∫ t 0 e A(t−τ) π c y(τ))dτ + ∫ t −∞ Als geeigneter metrischer Raum erweist sich e A(t−τ) π s y(τ))dτ − ∫ ∞ Y η = {x ∈ C 0 (R, R d ) | ‖y‖ η = sup e −η|t| ‖y(t)‖ < ∞}. t∈R t e A(t−τ) π u y(τ))dτ. Lemma 5.23 S ist ein beschränkter linearer Operator von E c nach Y η für jedes η > 0. Beweis: Nach Lemma 5.19 gibt es ein M(ɛ) > 0, so dass ‖e At x c ‖ ≤ M(ɛ)e ɛ|t| ‖x c ‖ für x c ∈ E c und so Wir setzen ‖Sx c ‖ Yη ≤ M(ɛ)‖x c ‖. C n b (Rd , R d ) = {x ∈ C n (R d , R d ) | ‖u‖ C n b = sup x∈R d n∑ j=0 ‖∂x j u(x)‖ < ∞}. □ Lemma 5.24 Für g ∈ C 0 b (Rd , R d ) bildet G den Raum Y η in sich ab. Ist g ∈ C 1 b (Rd , R d ) dann gilt für jedes η > 0 ‖G(y 1 ) − G(y 2 )‖ Yη ≤ ‖Dg‖ C 0 b ‖y 1 − y 2 ‖ Yη für y 1 , y 2 ∈ Y η . Beweis: Die erste Aussage ist offensichtlich, da g beschränkt ist. Weiter ist nach dem Mittelwertsatz ‖G(y 1 ) − G(y 2 )‖ Yη ≤ sup e −η|t| ‖g(y 1 (t)) − g(y 2 (t))‖ t∈R ≤ sup e −η|t| ‖Dg‖ C 0 b ‖y 1 (t) − y 2 (t)‖ ≤ ‖Dg‖ C 0 b ‖y 1 − y 2 ‖ Yη t∈R für y 1 , y 2 ∈ Y η . □ 72
Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β) ist die Abbildung K ein beschränkter linearer Operator von Y η nach Y η , d.h. es gibt eine Funktion γ : (0, β) → R, so dass ‖K‖ Yη→Y η ≤ γ(η). Beweis: Zunächst schreiben wir die letzten beiden Terme in der Definition von K als ∫ ∞ ∞ B(t− τ)y(τ)dτ. Sei weiter η ∈ (0, β) und y ∈ Y η . Dann folgt ∫ t e −η|t| ‖(Ky)(t)‖ ≤ ‖y‖ η sup e −η|t| [| t∈R ≤ ≤ ‖y‖ η sup[| t∈R ‖y‖ η [max( ∫ t 0 ∫ ∞ 0 0 ‖e A(t−τ) π c ‖e η|τ| dτ| + ‖e A(t−τ) π c ‖e −η|t−τ| dτ| + ∫ ∞ −∞ ∫ ∞ −∞ ∫ 0 ‖e Aτ π c ‖e −ητ dτ, ‖e Aτ π c ‖e ητ dτ) + −∞ ≤ ‖y‖ η M(ɛ)[(η − ɛ) −1 + 2(β − η − ɛ) −1 ]. Lemma 5.26 Sei η ∈ (0, β) und g ∈ C 1 b (Rd ), so dass κ = ‖K‖ η ‖Dg‖ C 0 b < 1. Dann ist I − K ◦ G ein Homöomorphismus in Y η . Beweis: Dies folgt unmittelbar aus den obigen Lemmata. ‖B(t − τ)‖e η|τ| dτ] ‖B(t − τ)‖e η|t−τ| dτ] ∫ ∞ −∞ ‖B(τ)‖e η|τ| dτ] Wir definieren Ψ = (I − K ◦ G) −1 Dann läßt sich die Lösung der obigen Fixpunktgleichung (15) als x = Ψ(Sx c ) schreiben. Wir definieren nun ψ(x c ) = π h Ψ(Sx c )(0) für alle x c ∈ E c als Abbildung von E c nach E h . Aus der Stetigkeit von Ψ folgt die Stetigkeit von ψ. Da Ψ(Sx c ) = Sx c + KG(Ψ(Sx c )), folgt aus den Definitionen von S, G und K, dass Damit ergibt sich die Schranke ψ(x c ) = ∫ ∞ −∞ B(−τ)g(Ψ(Sx c ))(τ)dτ. ‖ψ(x c )‖ ≤ 2M(ɛ)‖g‖ C 0 b (β − ɛ) −1 . Damit ist die Existenz einer stetigen Zentrumsmannigfaltigkeit bewiesen. Da für g ∈ C 1 b die Abbildung Ψ Lipschitz- stetig ist, folgt gleiches für ψ. 73 □ □
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Lemma 5.25 Für jedes η ∈ (0, β) ist die Abbildung K ein beschränkter linearer Operator von<br />
Y η nach Y η , d.h. es gibt eine Funktion γ : (0, β) → R, so dass<br />
‖K‖ Yη→Y η<br />
≤ γ(η).<br />
Beweis: Zunächst schreiben wir die letzten beiden Terme in der Definition von K als ∫ ∞<br />
∞ B(t−<br />
τ)y(τ)dτ. Sei weiter η ∈ (0, β) <strong>und</strong> y ∈ Y η . Dann folgt<br />
∫ t<br />
e −η|t| ‖(Ky)(t)‖ ≤ ‖y‖ η sup e −η|t| [|<br />
t∈R<br />
≤<br />
≤<br />
‖y‖ η sup[|<br />
t∈R<br />
‖y‖ η [max(<br />
∫ t<br />
0<br />
∫ ∞<br />
0<br />
0<br />
‖e A(t−τ) π c ‖e η|τ| dτ| +<br />
‖e A(t−τ) π c ‖e −η|t−τ| dτ| +<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
∫ 0<br />
‖e Aτ π c ‖e −ητ dτ, ‖e Aτ π c ‖e ητ dτ) +<br />
−∞<br />
≤ ‖y‖ η M(ɛ)[(η − ɛ) −1 + 2(β − η − ɛ) −1 ].<br />
Lemma 5.26 Sei η ∈ (0, β) <strong>und</strong> g ∈ C 1 b (Rd ), so dass<br />
κ = ‖K‖ η ‖Dg‖ C 0<br />
b<br />
< 1.<br />
Dann ist I − K ◦ G ein Homöomorphismus in Y η .<br />
Beweis: Dies folgt unmittelbar aus den obigen Lemmata.<br />
‖B(t − τ)‖e η|τ| dτ]<br />
‖B(t − τ)‖e η|t−τ| dτ]<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
‖B(τ)‖e η|τ| dτ]<br />
Wir definieren Ψ = (I − K ◦ G) −1 Dann läßt sich die Lösung der obigen Fixpunktgleichung<br />
(15) als x = Ψ(Sx c ) schreiben. Wir definieren nun<br />
ψ(x c ) = π h Ψ(Sx c )(0)<br />
für alle x c ∈ E c als Abbildung von E c nach E h . Aus der Stetigkeit von Ψ folgt die Stetigkeit<br />
von ψ. Da<br />
Ψ(Sx c ) = Sx c + KG(Ψ(Sx c )),<br />
folgt aus den Definitionen von S, G <strong>und</strong> K, dass<br />
Damit ergibt sich die Schranke<br />
ψ(x c ) =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
B(−τ)g(Ψ(Sx c ))(τ)dτ.<br />
‖ψ(x c )‖ ≤ 2M(ɛ)‖g‖ C 0<br />
b<br />
(β − ɛ) −1 .<br />
Damit ist die Existenz einer stetigen Zentrumsmannigfaltigkeit bewiesen.<br />
Da für g ∈ C 1 b<br />
die Abbildung Ψ Lipschitz- stetig ist, folgt gleiches für ψ.<br />
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