Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Aus den so erhaltenen Bedingungen erhalten wir für x ∈ M c die Fixpunktbedingung
x = Sx c + KG(x) (15)
mit
der Auswertungsabbildung
und der linearen Abbildung
(Sx c )(t) = e At x c ,
G(x)(t) = g(x(t))
(Ky)(t) =
∫ t
0
e A(t−τ) π c y(τ))dτ +
∫ t
−∞
Als geeigneter metrischer Raum erweist sich
e A(t−τ) π s y(τ))dτ −
∫ ∞
Y η = {x ∈ C 0 (R, R d ) | ‖y‖ η = sup e −η|t| ‖y(t)‖ < ∞}.
t∈R
t
e A(t−τ) π u y(τ))dτ.
Lemma 5.23 S ist ein beschränkter linearer Operator von E c nach Y η für jedes η > 0.
Beweis: Nach Lemma 5.19 gibt es ein M(ɛ) > 0, so dass
‖e At x c ‖ ≤ M(ɛ)e ɛ|t| ‖x c ‖
für x c ∈ E c und so
Wir setzen
‖Sx c ‖ Yη
≤ M(ɛ)‖x c ‖.
C n b (Rd , R d ) = {x ∈ C n (R d , R d ) | ‖u‖ C n
b
= sup
x∈R d
n∑
j=0
‖∂x j u(x)‖ < ∞}.
□
Lemma 5.24 Für g ∈ C 0 b (Rd , R d ) bildet G den Raum Y η in sich ab. Ist g ∈ C 1 b (Rd , R d ) dann
gilt für jedes η > 0
‖G(y 1 ) − G(y 2 )‖ Yη ≤ ‖Dg‖ C 0
b
‖y 1 − y 2 ‖ Yη
für y 1 , y 2 ∈ Y η .
Beweis: Die erste Aussage ist offensichtlich, da g beschränkt ist. Weiter ist nach dem Mittelwertsatz
‖G(y 1 ) − G(y 2 )‖ Yη ≤ sup e −η|t| ‖g(y 1 (t)) − g(y 2 (t))‖
t∈R
≤
sup e −η|t| ‖Dg‖ C 0
b
‖y 1 (t) − y 2 (t)‖ ≤ ‖Dg‖ C 0
b
‖y 1 − y 2 ‖ Yη
t∈R
für y 1 , y 2 ∈ Y η .
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