Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Lemma 5.20 Es sei ˜f ∈ C k für ein k ≥ 1 und ˜f ρ wie oben definiert. Dann ist ˜f ρ ∈ C k und es
gilt lim ρ→0 sup x∈R d ‖D ˜f ρ (x)‖ = 0.
Da wir nur in der Dynamik in der Nähe von x = 0 interessiert sind, betrachten wir im weiteren
ẋ = Ax + g(x) (14)
mit g ∈ C k (R d , R d ) für ein k ≥ 1 und g(0) = 0, D˜g(0) = 0 und sup x∈R d ‖Dg(x)‖ hinreichend
klein. Der Existenzsatz für die Zentrumsmannigfaltigkeit lautet.
Theorem 5.21 Sei η ∈ (0, β). Dann gibt es ein δ 0 > 0 such dass für g mit sup x∈R d ‖Dg(x)‖ ≤
δ 0 das folgende gilt.
(i) Die Menge
M c = {x 0 ∈ R d | sup e −η|t| ‖x(t, x 0 )‖ < ∞}
t∈R
ist invariant unter (14) und eine C 0 - Mannigfaltigkeit des R d . Genauer, es gibt ein ψ ∈ C 0 (E c , E h )
so dass
M c = {x c + ψ(x c ) | x x ∈ E c }.
ii) Diese Mannigfaltigkeit ist eindeutig.
Bemerkung 5.22 Dies ist kein Widerspruch zur Nichteindeutigkeit von oben, da die eindeutig
ausgewählte Mannigfaltigeit von der Abschneidefunktion abhängig ist.
Beweis: Die Invarianz von M c folgt unmittelbar aus der Definition, denn es ist x(τ, x 0 ) ∈ M c ,
wenn x 0 ∈ M c , da
sup
t∈R
e −η|t| ‖x(t, x(τ, x 0 ))‖ ≤ e η|τ| sup e −η|t+τ| ‖x(t + τ, x 0 ))‖ < ∞.
t∈R
Zum Existenznachweis verwenden wir die Variation der Konstantenformel
x(t) = e A(t−t 0) x(t 0 ) +
∫ t
t 0
e A(t−τ) g(x(τ))dτ.
Wir wenden nun nacheinander die Projektionen π j für j = c, s, u auf diese Gleichung an.
Für den zentralen Teil wählen wir t 0 = 0 und so
π c x(t) = e At x c +
∫ t
0
e A(t−τ) π c g(x(τ))dτ
für x c ∈ E c . Für den stabilen Teil betrachten wir t 0 → −∞. Für Lösungen x ∈ M c ergibt sich
π s x(t) =
∫ t
−∞
e A(t−τ) π s g(x(τ))dτ.
Für den instabilen Teil betrachten wir t 0 → ∞. Für Lösungen x ∈ M c ergibt sich
π u x(t) = −
∫ ∞
t
e A(t−τ) π u g(x(τ))dτ.
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