Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Beweis des Zentrumsmannigfaltigkeitensatzes:
Wir kommen nun zum Beweis des Zentrumsmannigfaltigkeitensatzes 5.14. Wir beschränken
uns auf die Existenz und verweisen auf [Van89] für den Beweis der Differenzierbarkeitseigenschaften.
Wir betrachten
ẋ = Ax + ˜f(x) (12)
mit x ∈ R d , ˜f ∈ C k (R d , R d ) für ein k ≥ 1 und ˜f(0) = 0, D ˜f(0) = 0. Zunächst betrachten wir
das lineare System
ẋ = Ax (13)
mit der Lösung x(t) = e At x 0 . Das Spektrum σ(A) von A, d.h. die Gesamtheit der Eigenwerte
zerfällt in einen stabilen, einen instabilen und einen zentralen Teil σ s , σ u und σ c . Es sei E s der
zu σ s gehörende Unterraum von R d , entsprechend E c und E u , d.h.
Entsprechend definieren wir Projektionen
R d = E s ⊕ E c ⊕ E u .
π s : R d → E s , π c : R d → E c , π u : R d → E u
mit kern(π s ) = E c ⊕ E u , kern(π c ) = E s ⊕ E u und kern(π u ) = E s ⊕ E c . Wir definieren weiter
π h = π s + π u und E h = E s ⊕ E u .
Die wesentliche Idee beruht darin, die invarianten Mannigfaltigkeiten über die exponentiellen
Wachstumsraten der Lösungen zu charakterisieren. Wir definieren
Es gilt dann
β + = min{Reλ | λ ∈ σ u } > 0
β − = max{Reλ | λ ∈ σ s } < 0
β = min{β + , −β − }.
Lemma 5.19 Für jedes ɛ > 0 gibt es ein M(ɛ) > 0, so dass
‖e At π c ‖ ≤ M(ɛ)e |ɛ|t , ∀ t ∈ R,
‖e At π u ‖ ≤ M(ɛ)e (β +−ɛ)t , ∀ t ≤ 0,
‖e At π s ‖ ≤ M(ɛ)e (β −+ɛ)t , ∀ t ≥ 0.
Beweis: Der Beweis folgt unmittelbar aus der Darstellungsformel von e At .
Als nächstes schneiden wir die Funktion ˜f außerhalb einer Umgebung um x = 0 ab. Dazu sei
χ ∈ C ∞ (R d , R) mit den Eigenschaften (i) 0 ≤ χ(x) ≤ 1 für alle x ∈ R d , (ii) χ(x) = 1,
wenn ‖x‖ ≤ 1 und (iii) χ(x) = 0, wenn ‖x‖ ≥ 2, gewählt. Dann definieren wir ˜f ρ (x) =
˜f(x)χ(ρ −1 x). Da ˜f ρ (x) = ˜f(x) für x ∈ B ρ = {x ∈ R d | ‖x‖ ≤ ρ} sind die Flüße von
ẋ = Ax + ˜f ρ (x) und von (12) für alle x ∈ B ρ gleich. Offensichtlich gilt (ohne Beweis)
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