Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Als Phasenraum kann zum Beispiel X = {U : Ω → R 3 | U| ∂Ω = 0, div U = 0, ∑ 2 ∑ ∫ j=0 j 1 ,j 2 ,j 3 ≥0;j 1 +j 2 +j 3 =j Ω |∂j 1 x 1 ∂ j 2 x 2 ∂ j 3 x 3 U| 2 dx < ∞} dienen. Siehe [Hen81, Tem97]. d) Populationsdynamik: Die fortpflanzungsfähige Population x(t) hängt vom Wert x(t − d), d > 0 fest, ab, d.h. die Abbildungsvorschrift ist eine Delay-Gleichung [Hal88] ẋ = f(t, x(t − d)). Als Phasenraum dient z.B. der Raum X = C([0, d], R). e) Dynamik in C: Wit betrachten die Iteration z n+1 = zn 2 + c, z 0 = 0 mit z j , c ∈ C. Die Mandelbrotmenge ist durch M = {c ∈ C | (z n ) n∈N bleibt beschränkt} gegeben. Diese Menge ist wie die Juliamenge ein Fraktal ([Man91, PR86]) und weist keine ganzzahlige Dimension auf. Die Beispiele a)-d) sind kontinuierliche Dynamische Systeme. Im Fall c) und d) sind die Phasenräume unendlichdimensional. Eine Diskretisierung zur numerischen Behandlung obiger Beispiele oder eine andere Modellbildung führt auf diskrete Dynamische Systeme der Form x n+1 = F (x n , n), wie im Beispiel e). Solche Abbildungen spielen auch bei der Untersuchung periodischer Lösungen eine wichtige Rolle. In den obigen Beispielen spielt die metrische Struktur des Phasenraumes die wichtige Rolle. Wird der Phasenraum als Maßraum verstanden, so spricht man von Ergodentheorie [Kre85, Wal82]. Dies erlaubt es, komplizierte Dynamik, wie z.B. die Bewegung von Molekülen in Gasen durch statistische Größen wie z.B. dem Druck zu erfassen. 4 4 Der Birkhoffsche Ergodensatz erlaubt es dann zeitliche Mittelungen durch räumliche Mittelungen zu ersetzen. 6
Geschichte: Die Beschreibung der Mechanik durch Differentialgleichungen war eine der wesentlichen Motivationen zur Erfindung der Differential- und Integralrechnung (Newton 1643- 1727, Leibniz 1646-1716). Die Untersuchung Gewöhnlicher Differentialgleichungen als Dynamisches System wird durch die Arbeiten von Poincaré 1854-1912 geprägt. Die Untersuchung gewöhnlicher Differentialgleichungen Dies ist und bleibt aktuell, da jede räumliche Diskretisierung Partieller Differentialgleichungen auf Gewöhnliche Differentialgleichungen führt. Die Untersuchung dynamischer Systeme ist hochaktuell durch die Entdeckungen chaotischer Dynamik in niedrigdimensionalen Systemen, wie dem Lorenzattraktor [Lor63], oder der Periodenverdopplung als universellem Weg ins Chaos. Für einen historischen Hintergrund siehe auch http://www.math-net.de/links/show?collection=math.museum.hist.math Phaseplane: Um das Lösungsverhalten gewöhnlicher Differentialgleichungen numerisch zu veranschaulichen, benutzen wir das Programmpaket Phaseplane bzw. XPP, für welches die Dateien direkt in Pittsburgh von B. Ermentrouts Homepage http://www.pitt.edu/˜phase/ herunter geladen werden können. Literatur: Die Vorlesung basiert auf den Lehrbüchern [GH83, KK74, Ver96]. Weitere hier verwendete Lehrbücher zu Gewöhnliche Differentialgleichungen sind [Ama83, Arn91, CL55, Hal88]. 7
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Geschichte: Die Beschreibung der Mechanik durch <strong>Differentialgleichungen</strong> war eine der wesentlichen<br />
Motivationen zur Erfindung der Differential- <strong>und</strong> Integralrechnung (Newton 1643-<br />
1727, Leibniz 1646-1716). Die Untersuchung Gewöhnlicher <strong>Differentialgleichungen</strong> als <strong>Dynamische</strong>s<br />
System wird durch die Arbeiten von Poincaré 1854-1912 geprägt. Die Untersuchung<br />
gewöhnlicher <strong>Differentialgleichungen</strong> Dies ist <strong>und</strong> bleibt aktuell, da jede räumliche Diskretisierung<br />
Partieller <strong>Differentialgleichungen</strong> auf Gewöhnliche <strong>Differentialgleichungen</strong> führt. Die<br />
Untersuchung dynamischer <strong>Systeme</strong> ist hochaktuell durch die Entdeckungen chaotischer Dynamik<br />
in niedrigdimensionalen <strong>Systeme</strong>n, wie dem Lorenzattraktor [Lor63], oder der Periodenverdopplung<br />
als universellem Weg ins Chaos.<br />
Für einen historischen Hintergr<strong>und</strong> siehe auch<br />
http://www.math-net.de/links/show?collection=math.museum.hist.math<br />
Phaseplane: Um das Lösungsverhalten gewöhnlicher <strong>Differentialgleichungen</strong> numerisch zu<br />
veranschaulichen, benutzen wir das Programmpaket Phaseplane bzw. XPP, für welches die Dateien<br />
direkt in Pittsburgh von B. Ermentrouts Homepage http://www.pitt.edu/˜phase/<br />
herunter geladen werden können.<br />
Literatur: Die Vorlesung basiert auf den Lehrbüchern [GH83, KK74, Ver96]. Weitere hier<br />
verwendete Lehrbücher zu Gewöhnliche <strong>Differentialgleichungen</strong> sind [Ama83, Arn91, CL55,<br />
Hal88].<br />
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