Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

erhalten wir W c = {(µ, x, y) ∈ R 3 | y = 0}. Damit können Bifurkationsprobleme durch
Einführen der Gleichung ˙µ = 0 durch den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz behandelt werden.
Da ˙µ = 0 erhalten bleibt, kann ˙µ = 0 anschließend wieder gestrichen werden. So kann das
vorliegende zweidimensionale Bifurkationsproblem durch den Zentrumsmannigfaltigkeitensatz
auf ein eindimensionales Problem in der attraktiven invarianten Zentrumsmannigfaltigkeit reduziert
werden. Diese Reduktion war hier natürlich trivial.
Beispiel 5.17 Wir betrachten
ẋ = µx + x 3 − xy, ẏ = −y + 2x 2
mit µ in der Nähe von Null. Wir ergänzen das System durch ˙µ = 0. Das linearisierte System ist
durch ẋ = 0, ẏ = −y, ˙µ = 0 gegeben und so ist offensichtlich E c = {y = 0}. Wir machen
daher den Ansatz
y = h(x) = ax 2 + bµx + cµ 2 + O(|µ| 3 + |x| 3 )
Es ergibt sich
und da
folgt durch Koeffizientenvergleich
2axẋ + µẋ + . . . = −(ax 2 + bµx + cµ 2 + . . .) + 2x 2
ẋ = µx + x 3 − ax 3 + . . .
x 2 : 0 = −a + 2, xµ : 0 = −b, µ 2 : 0 = −c, . . .
Allgemein ergibt sich, dass in h keine Potenzen von µ n ohne x auftauchen können. Damit ergibt
sich näherungsweise auf der Zentrumsmannigfaltigkeit
die Gleichung
W c = {y = 2x 2 + O(|µ|x 2 + |x| 3 )}
ẋ = µx + x 3 − x(2x 2 ) + O(µ 2 x 2 + x 4 ) = µx − x 3 + O(µ 2 x 2 + x 4 )
d.h. der Fixpunkt (x, y) = (0, 0) ist für µ ≤ 0 stabil, da wie wir später zeigen werden, die
Stabilität auf der Zentrumsmannigfaltigkeit die Stabilität impliziert. Bei µ = 0 findet eine superkritische
Pitchforkbifurkation statt.
Beispiel 5.18 Um zu demonstrieren, woher die Nichtglattheit der Zentrumsmannigfaltigkeit
stammt, betrachten wir das System
ẋ = −µx, ẏ = −y, ˙µ = 0
mit 0 > −µ > 1. Die Lösungskurven erfüllen dy
dx = µ y x und sind durch y(x) = C|x|1/µ gegeben.
Ist r < 1/µ < r + 1 mit r ∈ N, so sind die Lösungskurven in C r , aber nicht in C r+1 . Jede
solche Kurve ist eine Zentrumsmannigfaltigkeit, da sie tangential an y = 0 ist.
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