Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

5.3 Die Zentrumsmannigfaltigkeit und Normalformen
Die Zentrumsmannigfaltigkeit erlaubt es, die in Kapitel 4 vorgestellten Bifurkationen auch in
höheren Raumdimensionen wiederzufinden. Wird ein Fixpunkt instabil, so findet in einer Umgebung
des Fixpunktes die gesamte interessante Dynamik auf der exponentiell attraktiven Zentrumsmannigfaltigkeit
statt. Sogenannte Normalformtransformation vereinfachen die Untersuchung
der gefundenen reduzierten Systeme und erlauben eine Klassifizierung aller möglichen
Bifurkationen. Es gilt
Theorem 5.14 Sei f ∈ C r (R d , R d ) mit f(0) = 0. Wir zerteilen das Spektrum (die Menge der
Eigenwerte) von A = Df| x=0 in einen stabilen, einen instabilen und einen zentralen Teil
σ s = {λ ∈ σ | Reλ < 0},
σ c = {λ ∈ σ | Reλ = 0},
σ u = {λ ∈ σ | Reλ > 0}.
Es seien E s , E u und E c die Unterräume zu σ s , σ u und σ c . Dann existieren r mal stetig differenzierbare
Mannigfaltigkeiten W s und W u tangential an E s und E u und eine r − 1 mal stetig
differenzierbare Mannigfaltigkeit W c tangential an E c . Die Mannigfaltigkeiten W s , W u und
W c sind alle invariant unter dem Fluß. Die stabile und instabile Mannigfaltigkeit sind eindeutig.
Die zentrale Mannigfaltigkeit W c ist im allgemeinen nicht eindeutig. Ist f ∈ C ∞ , so ist
W s , W u ∈ C ∞ . Die Zentrumsmannigfaltigkeit W c kann in C r für alle r < ∞ gewählt werden.
Je größer r gewählt wird, umso kleiner wird W c .
Bevor wir diesen Satz beweisen, wollen wir den Inhalt und seine Anwendung anhand von Beispielen
erläutern.
Beispiel 5.15 [Kel67] Betrachte
ẋ = x 2 , ẏ = −y.
Wir erhalten die Lösungen x(t) = x 0
1−tx 0
und y(t) = y 0 e −t . Elimination der Zeit t ergibt y(x) =
(y 0 e −1/x 0
)e 1/x . Für x < 0 kommt jede Lösung flach in den Ursprung, d.h. lim x→0,x 0 ist y = 0 die einzige Lösung, welche in den Ursprung konvergiert. Damit erhalten
wir beliebig viele C ∞ - Zentrumsmannigfaltigkeiten durch aneinanderkleben der Stücke rechts
und links, womit wir ein Beispiel für die Nichteindeutigkeit der Zentrumsmannigfaltigkeit gefunden
haben. Die einzige analytische (d.h. konvergente Potenzreihe) Zentrumsmannigfaltigkeit
ist die x- Achse.
Beispiel 5.16 Wir betrachten
ẋ = µx − x 3 , ẏ = −y
mit µ in der Nähe von Null. Für µ < 0 ist (x, y) = (0, 0) stabil. Für µ = 0 ist W c = {y = 0}.
Durch betrachten von
ẋ = µx − x 3 , ẏ = −y, ˙µ = 0
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