Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Offensichtlich ist W s = E s . Für die Berechnung von W u gehen wir wie folgt vor. Mit dy = dy dt
dx dt dx
ergibt sich für die Lösungskurven y = y(x) die Differentialgleichung
Die Lösungen sind durch
dy
dx = −y
x + x
y(x) = x2
3 + c x
gegeben. Die instabile Mannigfaltigkeit kann durch einen Graphen y = h(x) dargestellt werden.
Nach obigen Satz muß dieser h(0) = h ′ (0) = 0 erfüllen. Damit ergibt sich c = 0 und
W u = {(x, y) ∈ R 2 | y = x 2 /3}.
Beispiel 5.12 Wir betrachten die zweidimensionale Abbildung
( ) ( ) ( )
x 1 1 x
Π =
y 1 2 y
auf dem Torus T 2 = R 2 /Z 2 . Der Punkt (0, 0) ist ein Fixpunkt. Das lineare System besitzt
die Eigenvektoren (1, (1 ± √ 5)/2) T mit den dazugehörigen Eigenwerten (3 ± √ 5)/2. Es ist
W s = E s = span{(1, (1 − √ 5)/2) T } und W u = E u = span{(1, (1 + √ 5)/2) T }. Diese
Mannigfaltigkeiten können fortgesetzt werden. Da die Steigungen irrational sind, liegen die
stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten dicht im Torus. Sie schneiden sich transversal. Hier
liegt chaotisches Verhalten vor.
Beispiel 5.13 Als letztes Beispiel betrachten wir die dreidimensionale Differentialgleichung
ẋ = x − y − x(x 2 + y 2 )
ẏ = x + y − y(x 2 + y 2 )
ż = z
Wie oben führen wir in der (x, y)- Ebene Polarkoordinaten x = r cos φ und y = r sin φ ein.
Es ergibt sich ṙ = r − r 3 und ˙φ = 1. Zu der periodischen Lösung r = 1 wählen wir den
Poincaré-Schnitt H = {(x, y, z) ∈ R 3 | x = 0}. Die dazugehörige zweidimensionale Poincaré-
Abbildung Π : U → H besitzt den Fixpunkt (y, z) = (1, 0). Die zu diesem Fixpunkt gehörige
instabile Mannigfaltigkeit ist durch W u = {(y, z) ∈ R 2 | y = 1} und die dazugehörige stabile
Mannigfaltigkeit durch W s = {(y, z) ∈ R 2 | z = 0} gegeben.
Sei x = x(t) eine Lösung, welche in der instabilen Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes und in der
stabilen Mannigfaltigkeit einer periodischen Lösung liegt, so heißt x = x(t) eine heterokline
Verbindung des Fixpunktes und der periodischen Lösung.
Wie wir bereits gesehen haben, können sich in diskreten Systemen die stabile und die instabilen
Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes transversal schneiden. Als Konsequenz der Invarianz dieser
Mannigfaltigkeiten müssen sich diese dann unendlich oft schneiden. Die Schnitte häufen sich
beim Fixpunkt. Hier liegt ebenfalls chaotisches Verhalten vor. Siehe Kapitel 6.2.
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