Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Bemerkung 5.9 Entsprechend kann für diskrete dynamische Systeme x n+1 = Π(x n ) durch
und
W s,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C ≥ 1, β ∈ (0, 1), so dass ‖Π n (¯x)‖ ≤ Cβ n für n ≥ 0}
W u,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C ≥ 1, β ∈ (0, 1), so dass ‖Π n (¯x)‖ ≤ Cβ |n| für n ≤ 0}
eine lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeit definiert werden.
Die oben definierten Mannigfaltigkeiten können (hier im kontinuierlichen Fall) durch
W s = ⋃ ⋃
x(t, W s,loc ) = {x(t, ¯x)}
t≤0 t≤0,¯x∈W s,loc
und
W u = ⋃ t≥0
x(t, W u,loc ) =
⋃
t≥0,¯x∈W u,loc
{x(t, ¯x)}
global fortgesetzt werden. Wegen der lokalen Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen können
sich die stabilen Mannigfaltigkeiten zu verschiedenen Fixpunkten nicht schneiden. Entsprechendes
gilt für die instabilen Mannigfaltigkeiten. Der Schnitt stabiler und instabiler Mannigfaltigkeiten
ist möglich und kann die Ursache chaotischer Dynamik sein.
Wir betrachten nun verschiedene Beispiele.
Beispiel 5.10 Wir betrachten erneut das mathematische Pendel
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = −αx 2 − sin(x 1 ).
Wir betrachten zunächst den Fall α = 0. Die eindimensionale instabile Mannigfaltigkeit von
(−π, 0) schneidet die eindimensionale stabile Mannigfaltigkeit von (π, 0). Sie sind identisch.
Für α ≠ 0 liegt kein Schnitt vor. Im allgemeinen schneiden sich zwei eindimensionale Mannigfaltigkeiten
im R 2 nicht. Um zu einem Schnitt zu gelangen, benötigen wir einen freien Parameter,
hier α.
Beispiel 5.11 Wir betrachten die Differentialgleichung
ẋ = x, ẏ = −y + x 2 ,
welche den einzigen Fixpunkt (0, 0) besitzt. Für das linearisierte System
erhalten wir die invarianten Unterräume
ẋ = x, ẏ = −y
E s = {(x, y) ∈ R 2 | x = 0} und E u = {(x, y) ∈ R 2 | y = 0}.
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