Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

und
Damit ist T (·, f) : Cb 0 → Cb 0
g = g(f).
‖T (g 1 , f) − T (g 2 , f)‖ C 0
b
≤ a‖g 1 − g 2 ‖ C 0
b
.
eine Kontraktion und es existiert ein eindeutiger Fixpunkt
Um zu zeigen, dass h ein Homöomorphismus ist, wiederholen wir dieses Argument für ˜h
aus Π ◦ ˜h(·) = ˜h ◦ DΠ·. Nach Konstruktion ergibt sich dann h ◦ ˜h = I, womit h ein ein
Homöomorphismus ist.
□
5.2 Stabile, Instabile Mannigfaltigkeiten
Wieder sei x 0 ∈ R d ein Fixpunkt der autonomen Differentialgleichung ẋ = f(x) mit f ∈
C m (R d , R d ). Für das linearisierte System ẏ = Ay = ∂f | ∂x x=x 0
y definierten wir mit dem stabilen,
dem instabilen und dem zentralen Unterraum E s , E u und E c unter e At invariante Unterräume.
Dieser über die verallgemeinerten Eigenräume definierten Räume bleiben im nichtlineren Fall
als invariante Mannigfaltigkeiten erhalten. Die stabile und instabile Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes
sind für das globale Verhalten von Gewöhnlichen Differentialgleichungen sehr wichtig,
da sie die verbindenden Orbits von Fixpunkten enthalten. Der Einfachheit halber betrachten wir
zunächst nur Differentialgleichungen mit der Eigenschaft, dass A = Df| x=x0 keine Eigenwerte
auf der imaginären Achse besitzt.
Definition 5.6 Wir definieren die lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeit W s,loc und W u,loc
eines Fixpunktes x 0 durch
und
W s,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C, β > 0, so dass ‖x(t, ¯x)‖ ≤ Ce −βt für t ≥ 0}
W u,loc = {¯x ∈ U | Es gibt C, β > 0, so dass ‖x(t, ¯x)‖ ≤ Ce −β|t| für t ≤ 0}
wobei U ⊂ R d eine Umgebung von x 0 ist.
Beispiel 5.7 Für lineare autonome Differentialgleichungen ẋ = Ax ist die lokale stabile Mannigfaltigkeit
W s,loc durch den stabilen Unterraum E s gegeben und die lokale instabile Mannigfaltigkeit
W u,loc durch den instabilen Unterraum E u gegeben.
Der folgende Satz zeigt, dass für nichtlineare Systeme E s und W s,loc und entsprechend die
instabilen Räume zueinander tangential sind.
Theorem 5.8 Es existieren lokale stabile und instabile Mannigfaltigkeiten W s,loc und W u,loc mit
der Dimension der entsprechenden stabilen und instabilen Unteräume E s und E u . Die Mannigfaltigkeiten
sind tangential an die Unterräume und sind so oft differenzierbar wie f.
Beweis: Der Beweis geht analog zum später folgenden Existenzsatz für Zentrumsmannigfaltigkeiten.
Er folgt durch ein Fixpunktargument in einem zeitlich exponentiell gewichteten Raum.
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