Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

5 Dynamik in der Nähe eines Fixpunktes
In diesem Kapitel wollen wir Methoden bereit stellen, die es erlauben die Dynamik in der
Nähe eines Fixpunktes oder einer periodischen Lösung, d.h. in der Nähe eines Fixpunktes der
Poincaré-Abbildung zu klassifizieren, insbesondere wollen wir das Verzweigungsverhalten bei
Eintreten von Instabilität auch in höheren Raumdimensionen untersuchen.
5.1 Der Satz von Hartman-Grobman
Der Satz von Hartman-Grobman macht eine Aussage über die Dynamik in der Nähe von hyperbolischen
Punkten (,d.h. keine Eigenwerte auf der imaginären Achse) in höheren Raumdimensionen.
Wie im zweidimensionalen Fall sehen in einer Umgebung des Fixpunktes das
Phasenbild des nichtlinearen Systems und des linearen Systems qualitativ gleich aus.
Theorem 5.1 Sei x 0 ein Fixpunkt der autonomen Differentialgleichung ẋ = f(x) mit f ∈
C 1 (R d , R d ). Den dazugehörigen nichtlinearen Lösungsoperator (den Fluß) bezeichnen wir mit
Φ(t, ·). Besitzt A = ∂f | ∂x x=x 0
keine rein imaginären Eigenwerte, dann gibt es einen in einer
Umgebung U von x 0 definierten Homöomorphismus h, welcher die Lösungskurven (die Orbits,
die Trajektorien) des nichtlinearen Flußes Φ(t, ·) in die des linearen Flußes e At überführt, d.h.
die Flüße sind konjugiert h ◦ Φ(t, ·) = e At ◦ h(·).
Beweis: Der Beweis geht analog zum diskreten Fall. Siehe unten.
Dies bedeutet, dass ẋ = f(x), x| t=0 = x 0 wie folgt gelöst werden kann. Wir lösen ẏ = Ay mit
der Anfangsbedingung y 0 = h(x 0 ) und erhalten y(t, y 0 ) = e At y 0 als Lösung. Die Lösung der
ursprünglichen Gleichung ist dann durch x(t, x 0 ) = h −1 (y(t, h(x 0 )) gegeben.
Bemerkung 5.2 Wir sehen später bei der Untersuchung von sogenannten Normalformen, dass
die Differenzierbarkeit von h nur unter zusätzlichen Nichtresonanzbedingungen an die Eigenwerte
gefolgert werden kann.
Beispiel 5.3 Wir vergleichen die Lösungen des nichtlinearen Systems
mit denen des linearisierten Systems
ẋ 1 = x 1 + O(x 2 1 + x2 2 ), ẋ 2 = −x 2 + O(x 2 1 + x2 2 )
ẏ 1 = y 1 , ẏ 2 = −y 2 .
Wir definieren h dann so, dass wir einander entsprechende Orbits und damit auch die daraufliegenden
Punkte zuordnen.
Beispiel 5.4 Wir vergleichen die Lösungen des nichtlinearen Systems ẋ = −x 3 mit denen des
linearisierten Systems ẏ = 0. Offensichtlich sind die Flüße nicht zueinander konjugiert. Wären
beide Füsse miteinander konjugiert, so könnte man ẋ = −x 3 , x| t=0 = x 0 dadurch lösen, dass
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