Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

T-periodisch
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10
0
2 T-periodisch
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5
-5
10 -10
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5
Abbildung 23: Periodenverdopplung einer periodischen Lösung und der Rössler Attraktor.
Der Attraktor kann in MAPLE mittels folgender Befehle gezeichnet werden.
restart:with(plots):
sys:=diff(x(t),t)+y(t)+z(t),diff(y(t),t)-x(t)-0.17*y(t),
diff(z(t),t)-0.4-x(t)*z(t)+8.5*z(t),x(0.)=1.0,y(0.)=0.,z(0.)=0.;
fcn:=x(t),y(t),z(t);
sol:=dsolve(sys,fcn,type=numeric,method=rkf45);
odeplot(sol, [y(t),x(t),z(t)],0..200,numpoints=6000, axes=boxed, color=red);
Beispiel 4.46 (Bifurkation quasiperiodischer Lösungen, invariante Tori) Der Einfachheit halber
betrachten wir hier lineare zweidimensionale Abbildungen Π : R 2 → R 2 . Instabilitäten
des Fixpunktes x = 0 im Falle, dass ein reeller Eigenwert den Einheitskreis überquert, haben
wir oben behandelt. Wir interessieren uns nun für den Fall, dass ein Paar konjugiert komplexer
Eigenwerte e ±2πiν den Einheitskreis überquert. Wir unterscheiden zwei Fälle i) ν ∈ Q und ii)
ν ∈ R/Q. Im Fall ν = p/q ∈ Q, ggT(p, q) = 1, erhalten wir eine q-periodische Lösung.
Ist ν ∈ R/Q, so liegt der Orbit oder die Trajektorie der Lösung dicht auf dem Einheitskreis.
In der Gewöhnlichen Differentialgleichung entspricht dieser Verzweigung eine Verzweigung
quasiperiodischer Lösungen. Eine Funktion x(t) heißt quasiperiodisch, falls es eine Funktion
g : T n → R, mit T n der n-dimensionale Torus, gibt, so dass x(t) = g(ω 1 t, ω 2 t, . . . , ω n t) mit
ω i /ω j ∉ Q für mindestens ein Paar i ≠ j.
Die tatsächliche Verzweigung solcher Lösungen ist eine höchst delikate Angelegenheit. Siehe
auch KAM Tori und Arnold-Zungen.
Früher hat man angenommen, dass Turbulenz bzw. chaotisches Verhalten durch fortgesetzte
Bifurkationen dieser Art zustande kommen (Landau-Sequenz). Diese Theorie wurde durch die
Arbeit [RT71] wiederlegt, welche zeigt, dass schon die nächste Verzweigung zu chaotischem
Verhalten führen kann.
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