Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Beispiel 4.43 (Pitchfork-Bifurkation von periodischen Lösungen) Wir betrachten eine eindimensionale
Poincaré-Abbildung Π µ : R → R mit Π µ (x) = µx − x 3 . Hier führen wir den Bifurkationsparameter
α 2 = µ − 1 ein und erhalten aus der Fixpunktbedingung Π µ (x) = x, dass
x = (1 + α 2 )x − x 3 und so zwei weitere Fixpunkte x 2,3 = ±α. Es findet daher eine Pitchfork-
Bifurkation von Fixpunkten der Poincaré-Abbildung und somit eine Pitchfork-Bifurkation von
periodischen Lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichungen statt.
Neben der Sattel-Knoten-Bifurkation von Fixpunkten können bei eindimensionalen Abbildungen
auch noch 2-periodische Lösungen verzweigen.
Beispiel 4.44 (Periodenverdopplung) Wir betrachten erneut die eindimensionale Abbildung
Π µ (x) = µx − x 2 , aber nun mit µ in der Nähe von −1. Wird der Fixpunkt x = 0 für µ = −1
instabil, so liefert die Fixpunktbedingung x = −x − x 2 . Offensichtlich besitzt diese Gleichung
für kleines |µ + 1| in der Nähe von x = 0 keinen weiteren Fixpunkt. Da die Linearisierung
DΠy = −y für µ = −1 sogenannte 2-periodische Lösungen, d.h. (DΠ) 2 x = x, besitzt, untersuchen
wir
Π 2 µ(x) = µ(µx − x 2 ) − (µx − x 2 ) 2 .
Wir führen den Bifurkationsparameter µ = −(1 + α) ein und erhalten
Π 2 −(1+α) (x) = x(1 + 2α + αx − 2x2 + O(|x|(|α 2 | + |αx 2 | + |x 3 |)) = x
Die Fixpunktbedingung kann durch x durchdvidiert werden und auf beiden Seiten kann die 1
gekürzt werden. Mit den Skalierungen α = β 2 und x = βy liefert dies die Fixpunktbedingung
β −3 (Π 2 −1+β 2(βy) − βy) = 2y − 2y3 + O(|β|)
und so erhalten wir mit dem Satz über implizite Funktionen zwei nichttriviale Lösungen y 2,3 =
±1 + O(β). Damit verzweigen zwei nichttriviale Fixpunkte x 2,3 (1 + β 2 ) = ±β + O(β 2 ) für Π 2 µ
aus der trivialen Lösung x = 0. Dem entspricht eine zweiperiodische Lösung der Abbildung
Π. Bei einer Gewöhnlichen Differentialgleichung entsprcht diese Bifurkation einer Periodenverdopplung
einer periodischen Lösung. Siehe Abbildung 23.
Beispiel 4.45 Die Differentialgleichung von Rössler
⎛ ⎞ ⎛
⎞
x −(y + z)
d
⎜
dt ⎝ y ⎟
⎠ = ⎜
⎝ x + 1y
⎟
5 ⎠ .
1
z + z(x − a) 5
ist ein Beispiel für ein System, wo sukzessive Periodenverdopplungen letztendlich zu chaotischem
Verhalten führen. Dabei ist a ein reller Parameter. Ausgehend von einem attraktiven
periodischen Orbit für a = 2.2 finden durch Erhöhung von a Periodenverdopplungen statt, bis
bei a > 4.3 bereits ein strange attractor vorliegt.
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