Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Beweis: Wir setzen x = x 0 + y ∈ H. Dann gilt y n+1 = DΠy n + g(y n ) mit g(y n ) = o(‖y n ‖).
Nach Voraussetzung gibt es ein µ 0 ∈ (0, 1) und eine Norm ‖ · ‖, so dass ‖DΠy n ‖ ≤ µ 0 ‖y n ‖.
Die Existenz dieser Norm sei aus Numerik bekannt. Weiter gibt es für alle b > 0 ein δ 1 > 0, so
dass ‖g(y)‖ ≤ b‖y‖ aus ‖y‖ ≤ δ 1 folgt. Wähle nun b so dass µ 0 + b = κ ∈ (0, 1) ist. Damit gilt
‖y n+1 ‖ ≤ µ 0 ‖y n ‖ + b‖y n ‖ ≤ κ‖y n ‖
und somit ‖y n ‖ ≤ κ n ‖y 0 ‖ → 0 für n → ∞. Da alle endlich- dimensionalen Normen äquivalent
sind, folgt die Behauptung.
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Korollar 4.40 Unter den Voraussetzungen dieses Satzes ist die periodische Lösung orbital stabil
mit asymptotischer Phase.
Beweis: Der Beweis folgt im nächsten Kapitel als direkte Konsequenz des Zentrumsmannigfaltigkeitensatzes.
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Wie im letzten Kapitel überträgt sich die Instabilität vom linearisierten System auf das nichtlineare
System. Analog zum dortigen Beweis folgt.
Theorem 4.41 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x) mit f ∈ C 1 (R d , R d ). Weiter sei Π : U → H die dazugehörige Poincaré-
Abbildung durch x 0 . Gibt es einen Eigenwert µ der Linearisierung DΠ mit der Eigenschaft
|µ| > 1, so ist die periodische Lösung instabil.
Beweis: ohne Beweis
Vollständigkeitshalber bemerken wir noch, dass die d − 1 Eigenwerte der Abbildung DΠ vereinigt
mit {1} mit den d Floquetmultiplikatoren der Linearisierung ẏ = ∂f | ∂x x=x per
y zusammenfallen.
Wie oben wollen wir nun der Frage nach gehen, was passiert wenn eine periodische Lösung
instabil wird.
Beispiel 4.42 (transkritische Bifurkation von periodischen Lösungen) Wir betrachten eine eindimensionale
Poincaré-Abbildung Π µ : R → R mit Π µ (x) = µx − x 2 . Für alle µ ∈ R
besitzt diese Abbildung den Fixpunkt x = 0, welcher einer periodischen Lösung der dazugehörigen
zweidimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichung entspricht. Die Linearisierung
DΠ µ y = µy um x = 0 besitzt den Eigenwert µ, d.h. x = 0 wird instabil für µ = 1.
Der Wert µ = −1 ist bei zweidimensionalen gewöhnlichen Differentialgleichungen wegen des
Jordanschen Kurvensatzes nicht möglich. Wir führen den Bifurkationsparameter α = µ − 1
ein und erhalten aus der Fixpunktbedingung Π µ (x) = x, dass x = (1 + α)x − x 2 und so den
zweiten Fixpunkt x = α. Es findet daher eine transkritische Bifurkation von Fixpunkten der
Poincaré-Abbildung und somit eine transkritische Bifurkation von periodischen Lösungen der
gewöhnlichen Differentialgleichungen statt.
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