Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Als Phasenraum kann zum Beispiel
X = {U : Ω → R 3 | U| ∂Ω = 0, div U = 0,
∑ 2 ∑
∫
j=0 j 1 ,j 2 ,j 3 ≥0;j 1 +j 2 +j 3 =j Ω |∂j 1
x 1
∂ j 2
x 2
∂ j 3
x 3
U| 2 dx < ∞}
dienen. Siehe [Hen81, Tem97].
d) Populationsdynamik: Die fortpflanzungsfähige Population x(t) hängt vom Wert x(t − d),
d > 0 fest, ab, d.h. die Abbildungsvorschrift ist eine Delay-Gleichung [Hal88]
ẋ = f(t, x(t − d)).
Als Phasenraum dient z.B. der Raum X = C([0, d], R).
e) Dynamik in C: Wit betrachten die Iteration z n+1 = zn 2 + c, z 0 = 0 mit z j , c ∈ C. Die
Mandelbrotmenge ist durch
M = {c ∈ C | (z n ) n∈N
bleibt beschränkt}
gegeben. Diese Menge ist wie die Juliamenge ein Fraktal ([Man91, PR86]) und weist keine
ganzzahlige Dimension auf.
Die Beispiele a)-d) sind kontinuierliche Dynamische Systeme. Im Fall c) und d) sind die Phasenräume
unendlichdimensional. Eine Diskretisierung zur numerischen Behandlung obiger Beispiele
oder eine andere Modellbildung führt auf diskrete Dynamische Systeme der Form
x n+1 = F (x n , n),
wie im Beispiel e). Solche Abbildungen spielen auch bei der Untersuchung periodischer Lösungen
eine wichtige Rolle. In den obigen Beispielen spielt die metrische Struktur des Phasenraumes
die wichtige Rolle. Wird der Phasenraum als Maßraum verstanden, so spricht man von
Ergodentheorie [Kre85, Wal82]. Dies erlaubt es, komplizierte Dynamik, wie z.B. die Bewegung
von Molekülen in Gasen durch statistische Größen wie z.B. dem Druck zu erfassen. 4
4 Der Birkhoffsche Ergodensatz erlaubt es dann zeitliche Mittelungen durch räumliche Mittelungen zu ersetzen.
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