Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

ii) Die periodische Lösung heißt instabil, falls dies nicht gilt.
iii) Die periodische Lösung heißt asymptotisch stabil, falls zusätzlich lim n→∞ Π n (x 1 ) = x 0 gilt.
Im folgenden unterscheiden wir nicht zwischen x ∈ H und x ∈ R d . Eine äquivalente Definition
ist wie folgt.
Definition 4.36 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x). Dann heißt die einparametrige Familie
Γ = {x = x per (t + γ) | γ ∈ R}
i) orbital stabil, wenn es für alle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass inf γ∈R ‖x(t, x 1 ) − x per (γ)‖ ≤ ɛ
für alle t ∈ R aus inf γ∈R ‖x 1 − x per (γ)‖ ≤ δ folgt.
ii) orbital instabil, falls dies nicht gilt.
iii) orbital stabil mit asymptotischer Phase γ 0 , falls es ein γ 0 ∈ R, mit
gibt.
lim ‖x(t, x 1) − x per (t + γ 0 )‖ = 0
t→∞
Wir betrachten zunächst zwei Beispiele.
Beispiel 4.37 Es sei x = x per (t) eine periodische Lösung beim mathematischen Pendel
ẋ 1 = x 2 , ẋ 2 = − sin x 1 .
Wir wählen als Poincaré-Schnitt H die x 1 -Achse. Offensichtlich ist Π = I. Damit ist die periodische
Lösung im Sinne der obigen Definition stabil. Da benachbarte periodische Lösungen
aber verschiedene Umlaufzeiten besitzen, sind die periodischen Lösungen aber instabil im Sinne
von Kapitel 4.1, d.h. y = 0 ist instabil in ẏ = A(t)y + O(|y| 2 ) mit A = ∂f
∂x | x=x per(t) .
Beispiel 4.38 Wir betrachten in Polarkoordinaten das ebene System
ṙ = r − r 3 , ˙φ = 1.
Um die Stabilität der periodischen Lösung r = 1 zu untersuchen , wählen wir erneut die
x 1 -Achse als Poincaré-Schnitt H. Offensichtlich ist der Punkt x 1 attraktiv unter der Poincaré-
Abbildung Π und damit ist die periodische Lösung r = 1 asymptotisch stabil.
Es gilt wie im kontinuierlichen Fall folgender Stabilitätssatz.
Theorem 4.39 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x) mit f ∈ C 1 (R d , R d ). Weiter sei Π : U → H die dazugehörige Poincaré-
Abbildung durch x 0 . Erfüllen die d − 1 verallgemeinerten Eigenwerte µ der Linearisierung DΠ
die Eigenschaft |µ| < 1, so ist die periodische Lösung asymptotisch stabil. Genauer, es gibt
Konstanten C ≥ 1 und κ ∈ (0, 1), so dass
‖Π n (x 1 ) − x 0 ‖ ≤ Cκ n ‖x 1 − x 0 ‖.
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