Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Differentialgleichung ẏ(t) = A(t)y(t) mit A(t) = ∂f | ∂x x=x per(t). Die Floquetmultiplikatoren sind
durch die Eigenwerte des für t = T ausgewerteten linearen Evolutionsoperators S(t, 0) dieser
periodischen Gleichung gegeben. Da y(t) = ẋ per (t) diese Gleichung löst, wird y(0) durch
S(T, 0) in sich abgebildet, womit S(T, 0) den Eigenwert 1 besitzt.
□
Damit ist wie bereits erwähnt der obige Satz über die Stabilität von periodischen Lösungen hier
nicht anwendbar. Deshalb gehen wir wie folgt vor.
Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der obigen Differentialgleichung. Dazu wählen
wir eine (d − 1)-dimensionale Hyperebene H (den Poincaré-Schnitt) transversal zu dieser periodischen
Lösung in einem Punkt x 0 . Aus Stetigkeitsgründen gibt es eine ganze Umgebung
U ⊂ H um x 0 , aus der startende Lösungen die Hyperebene, aus der gleichen Richtung in der
Nähe von x 0 , erneut durchstoßen. Siehe Abbildung 22.
Der so zu x 1 ∈ U gehörende Durchstoßpunkt werden mit ˜x 1 ∈ H bezeichnet. Wir definieren
x1
x 0
∼
x 1
H
dann die sogenannte Poincaré-Abbildung
{
Abbildung 22: Konstruktion der Poincaré-Abbildung.
Π :
U → H
Π(x 1 ) = ˜x 1
.
Offensichtlich ist x 0 ein Fixpunkt der Poincaré-Abbildung, d.h. Π(x 0 ) = x 0 . Weiter reicht es eine
Poincaré-Abbildung zu betrachten, da Poincaré-Abbildungen Π j zu verschiedenen Poincaré-
Schnitten durch feste Koordinatentransformationen S in einander übergehen, genauer Π 1 =
S −1 ◦ Π 2 ◦ S. Damit gilt folglich auch Π n 1 = S −1 ◦ Π n 2 ◦ S, womit die folgende Definition Sinn
macht.
Definition 4.35 Es sei x(t) = x per (t) eine T -periodische Lösung der autonomen Differentialgleichung
ẋ = f(x), und es sei Π : U → H die dazugehörige Poincaré-Abbildung durch x 0 .
i) Die periodische Lösung heißt stabil, wenn es für alle ɛ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass ‖Π n (x 1 ) −
x 0 ‖ ≤ ɛ für alle n ∈ N aus ‖x 1 − x 0 ‖ ≤ δ mit x 1 ∈ H folgt.
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