Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

esitzt n-periodische Lösungen y n = e inφ y 0 , wenn nφ ein Vielfaches von 2π ist, vgl. Satz 4.33.
Damit treten in den Auswüchsen von M 1 drei-, vier-, fünf- usw. periodische Lösungen auf.
Die Mandelbrotmenge besitzt eine Vielzahl erstaunlicher Eigenschaften und parametrisiert u.a. die
Menge der Julia-Menge, siehe [SU03].
Abbildung 21: Perioden und die Feigenbaumkaskade in der Mandelbrotmenge.
4.5 Periodische Lösungen
In diesem Abschnitt interessieren wir uns für die Stabilität echt periodischer Lösungen x = x(t)
mit x(t) = x(t + T ) für ein T > 0 und alle t ∈ R bei autonomen Gewöhnlichen Differentialgleichungen
ẋ = f(x).
Zunächst stellen wir fest.
Lemma 4.34 Die Linearisierung um eine periodische Lösung einer autonomen Differentialgleichung
besitzt stets den Floquetmultiplikator 1.
Beweis: Sei x = x per (t) eine periodische Lösung, d.h. es gilt ẋ per (t) = f(x per (t)). Differenzieren
wir diese Gleichung nach der Zeit, so erhalten wir für die Zeitableitung y(t) = ẋ per (t) die
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