Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

definiert. Wir wollen einige elementare Eigenschaften von M beschreiben, siehe Abb.21. 5 Das
Betrachten verschiedener (reller) Werte von c entspricht dem Betrachten von f µ für verschiedene
Werte von µ. Der Wert µ ist in der Mandelbrotmenge, wenn die Folge zum Startwert
x = 1/2 = h(0) beschränkt bleibt. Dies ist unter anderem dann der Fall, wenn ein stabiler
Fixpunkt oder allgemein eine stabile n-periodische Lösung vorhanden ist. Deshalb suchen wir
zunächst die Werte der Abbildung Q c (z) = z 2 + c, für welche ein stabiler Fixpunkt z 0 ∈ C
vorhanden ist. Die Fixpunktbedingung liefert z 2 0 − z 0 + c = 0. Die Stabilitätsbedingung liefert
|Q ′ c(z 0 )| = |2z 0 | ≤ 1. Aus letzterem schließen wir z 0 = re iφ mit φ ∈ R und r ∈ [0, 1/2]. Aus
der Fixpunktbedingung ergibt sich dann, daß für alle c aus
M 1 = {c = re iφ − r 2 e 2iφ | φ ∈ R, r ∈ [0, 1/2)}
ein stabiler Fixpunkt existiert. Die Menge M 1 ist das Innere einer Kardiode (einer Herzkurve),
deren Rand durch
c = 1 4 − 1 4 (1 − eiφ ) 2 , (φ ∈ S 1 )
gegeben ist, und stellt den Rumpf des Apfelmännchens dar.
Wandern wir entlang der reellen Achse, so erreichen wir den Randpunkt von M 1 in welchem
der Fixpunkt instabil wird und eine stabile zweiperiodische Lösung auftritt. Wir vermuten daher,
daß die folgende Kugel, der Bereich ist, indem eine stabile zweiperiodische Lösung auftritt. Die
Fixpunktbedingung ist
Q 2 c (z) − z = (z2 + c) 2 + c − z = z 4 + 2cz 2 − z + (c 2 + c)
= (z 2 − z + c)(z 2 + z + c + 1) = 0,
da der Fixpunkt gleichzeitig eine zweiperiodische Lösung ist. Die Stabilitätsbedingung liefert
|(Q 2 ) ′ (z)| = |4z 3 + 4cz| = |4z(z 2 + c + z − z + 1 − 1)|
= | − 4z(z + 1)| = 4|c + 1|,
d.h. für |c + 1| < 1/4 existiert eine stabile zweiperiodische Lösung. Entsprechend gehören die
für c ∈ R bis c ∞ = c(µ ∞ ) auftretenden Mengen zu 2 l -periodischen Lösungen. Wie wir gesehen
haben existieren weiter sogenannte periodische Fenster im chaotischen Bereich, z.B. eine 3–
periodische Lösung für µ ∈ (µ a , µ b ) mit µ a ≈ 3.83, µ b ≈ 3.84, die wieder mit Perioden–
verdopplungen instabil werden. In den entsprechenden c–Bereichen treten dann kleine Kopien
des Rumpfes auf. Dies ist (u.a.) ein Grund für die selbstähnliche Struktur der Mandelbrotmenge.
Wir wollen schließlich überlegen, zu welchen Perioden die anderen Auswüchse am Rumpf M 1
des Apfelmännchens gehören. Nach den obigen Berechnungen besitzt der Fixpunkt z 0 zu einem
c auf dem Rand die Linearisierung F ′ (z 0 ) = 2z 0 = e iφ . Das linearisierte System
y n+1 = e iφ y n
5 zum eigenen graphischen Entdecken von M sei z.B. das Programm xfractint empfohlen
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