Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Theorem 4.33 Perioden–Verdopplungs–Bifurkation Angenommen f(0, µ) = 0 für alle µ
in einer Umgebung U von µ 0 , ∂ x f(0, µ 0 ) = −1, sowie ∂ µ ∂ x f 2 (0, µ 0 ) ≠ 0. Dann existiert
eine Umgebung I von 0 und eine Funktion µ : I → R mit µ(0) = µ 0 , f(x, µ(x)) ≠ x und
f 2 (x, µ(x)) = x, und
Beweis: Setze g(x, µ) = f 2 (x, µ) − x. Der Satz über implizite Funktionen ist nicht direkt
anwendbar, da ∂ µ g(0, µ) = 0. Deshalb setze
h(x, µ) =
{
g(x, µ)/x x ≠ 0
∂ x g(0, µ) x = 0 .
Dann ist h glatt, h(0, µ 0 ) = 0 und ∂ µ h(0, µ 0 ) = ∂ µ ∂ x f 2 (0, µ 0 ) ≠ 0. Also existiert eine eindeutige
Auflösung µ(x) mit h(x, µ(x)) ≡ 0, also insbesondere g(x, µ(x))/x = 0 für x ≠ 0. Also
ist x ein 2-periodischer Punkt, und x ist kein Fixpunkt nach Satz 4.31.
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Übung: Überprüfe die Voraussetzungen von Theorem 4.33 bei µ = 3.
Als nächstes kann man die Stabilität der verzweigenden zweiperiodischen Lösung betrachten,
d.h. die Stabilität des verzweigenden Fixpunktes von fµ 2 . Diese Vogehensweise ist im Prinzip
für alle n durchführbar, liefert aber sicher keine Erklärung für die Zahl δ; siehe [SU03].
4.4 Bemerkungen zu Iterationen in der komplexen Ebene
In diesem Abschnitt betrachten wir Iterationen holomorpher Abbildungen der komplexen Ebene
C. Wir wollen erklären in welchem Zusammenhang die bekannte Mandelbrotmenge [PR86]
mit unseren bisherigen Überlegungen stehen. Als weitergehende Literatur verweisen wir auf
[Dev89, CG93, Mil99].
Im folgenden wollen wir uns auf die quadratische Abbildung
{
C → C
Q c :
z ↦→ z 2 + c
der komplexen Ebene in sich beschränken. Diese ist mittels einer linearen Transformation
h(x) = αx + β konjugiert zur bisher betrachteten Abbildung f µ (x) = µx(1 − x). Dabei ist
β = 1/2 und αµ = −1. Zwischen c < 1/4 und µ > 1 besteht die Beziehung
Die Mandelbrotmenge ist durch
c = 1 2 µ − 1 4 µ2 .
M = {c ∈ C | (z n ) n∈N bleibt beschränkt, wobei z n+1 = z 2 n + c, z 0 = 0} (11)
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