Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
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derweise gilt für großes j, daß µ ∞ − µ j ∼ Cδ −j , wobei δ = 4.6692 . . . Feigenbaumkonstante heißt. Es zeigt sich außerdem, daß δ von der speziellen Wahl der Familie f µ unabhängig ist, d.h. wir erhalten das gleiche δ für (z.B.) f µ =µ sin(πx). Der Weg ins Chaos findet häufig in dieser universellen Art und Weise statt. Dies läßt sich analytisch erklären, siehe [SU03]. Hier betrachten wir nur die ersten Periodenverdopplungen. Zunächst bemerken wir jedoch, wann keine Bifurkation stattfindet, vgl. Abb.20. Theorem 4.31 Kontinuierung von Fixpunkten. Sei f(x; µ) eine durch µ ∈ R parametrisierte Familie von differenzierbaren Funktionen mit f(x 0 ; µ 0 ) = x 0 und ∂ x f(x 0 , µ 0 ) ≠ 1. Dann existiert eine eindeutige lokale Auflösung x = x 0 (µ), d.h. es existieren Intervalle I um x 0 und N um µ 0 und eine Funktion x 0 : N → I mit x 0 (µ 0 ) = x 0 und f(x 0 (µ), µ) = x 0 (µ), und f(·; µ) besitzt keine anderen Fixpunkte in I. Beweis: Übung □ Wie wir bereits gesehen haben, wird der Fixpunkt p µ = µ − µ 1 bei µ=3 instabil. Da f ′ (p µ )=2−µ, ist für µ = 3 die Linearisierung durch y n+1 = −y n gegeben. Mittels des Satzes über implizite Funktionen kann durch Betrachten der Bedingung fµ(x) 2 − x = 0 nachgewiesen werden, daß eine zweiperiodische Lösung verzweigt, bzw. bifurkiert. Für theoretische Zwecke ist es häufig angenehmer statt f(x; µ) die Familie ˜f(x; µ) = f(x + x 0 (µ); µ) − x 0 (µ) zu betrachten, sodaß der Fixpunkt in 0 liegt. Dabei lassen wir die ˜ im weiteren wieder weg. Abbildung 20: Kontinuierung von Fixpunkten und Sattel–Knoten–Bifurkation. Theorem 4.32 Sattel–Knoten–Bifurkation Es sei f(0, µ 0 ) = 0, ∂ x f(0, µ 0 ) = 1, ∂ 2 x f(0, µ 0) ≠ 0 und ∂ µ f(0, µ 0 ) ≠ 0. Dann existiert eine Umgebung I von 0 und eine Funktion µ : I → R mit µ(0) = µ 0 , f(x, µ(x)) = x, und µ ′ (0) = 0, µ ′′ (0) = −(∂ 2 x f(0, µ 0))/(∂ µ f(0, µ 0 )). Beweis: Setze g(x, µ) = f(x, µ) − x, d.h.: g(x, µ) = 0 ⇒ f(x, µ) hat Fixpunkt x. Es gilt ∂ µ g(0, µ 0 ) = ∂ µ f(0, µ 0 ) ≠ 0, und damit existiert nach dem Satz über implizite Funktionen eine eindeutige Auflösung µ(x) mit g(x, µ(x)) ≡ 0. Implizites Differenzieren liefert µ ′ (0) = 0 und µ ′′ (0) = −(∂ 2 xf(0, µ 0 ))/(∂ µ f(0, µ 0 )). □ 54
Theorem 4.33 Perioden–Verdopplungs–Bifurkation Angenommen f(0, µ) = 0 für alle µ in einer Umgebung U von µ 0 , ∂ x f(0, µ 0 ) = −1, sowie ∂ µ ∂ x f 2 (0, µ 0 ) ≠ 0. Dann existiert eine Umgebung I von 0 und eine Funktion µ : I → R mit µ(0) = µ 0 , f(x, µ(x)) ≠ x und f 2 (x, µ(x)) = x, und Beweis: Setze g(x, µ) = f 2 (x, µ) − x. Der Satz über implizite Funktionen ist nicht direkt anwendbar, da ∂ µ g(0, µ) = 0. Deshalb setze h(x, µ) = { g(x, µ)/x x ≠ 0 ∂ x g(0, µ) x = 0 . Dann ist h glatt, h(0, µ 0 ) = 0 und ∂ µ h(0, µ 0 ) = ∂ µ ∂ x f 2 (0, µ 0 ) ≠ 0. Also existiert eine eindeutige Auflösung µ(x) mit h(x, µ(x)) ≡ 0, also insbesondere g(x, µ(x))/x = 0 für x ≠ 0. Also ist x ein 2-periodischer Punkt, und x ist kein Fixpunkt nach Satz 4.31. □ Übung: Überprüfe die Voraussetzungen von Theorem 4.33 bei µ = 3. Als nächstes kann man die Stabilität der verzweigenden zweiperiodischen Lösung betrachten, d.h. die Stabilität des verzweigenden Fixpunktes von fµ 2 . Diese Vogehensweise ist im Prinzip für alle n durchführbar, liefert aber sicher keine Erklärung für die Zahl δ; siehe [SU03]. 4.4 Bemerkungen zu Iterationen in der komplexen Ebene In diesem Abschnitt betrachten wir Iterationen holomorpher Abbildungen der komplexen Ebene C. Wir wollen erklären in welchem Zusammenhang die bekannte Mandelbrotmenge [PR86] mit unseren bisherigen Überlegungen stehen. Als weitergehende Literatur verweisen wir auf [Dev89, CG93, Mil99]. Im folgenden wollen wir uns auf die quadratische Abbildung { C → C Q c : z ↦→ z 2 + c der komplexen Ebene in sich beschränken. Diese ist mittels einer linearen Transformation h(x) = αx + β konjugiert zur bisher betrachteten Abbildung f µ (x) = µx(1 − x). Dabei ist β = 1/2 und αµ = −1. Zwischen c < 1/4 und µ > 1 besteht die Beziehung Die Mandelbrotmenge ist durch c = 1 2 µ − 1 4 µ2 . M = {c ∈ C | (z n ) n∈N bleibt beschränkt, wobei z n+1 = z 2 n + c, z 0 = 0} (11) 55
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derweise gilt für großes j, daß<br />
µ ∞ − µ j ∼ Cδ −j ,<br />
wobei δ = 4.6692 . . . Feigenbaumkonstante heißt. Es zeigt sich außerdem, daß δ von der speziellen<br />
Wahl der Familie f µ unabhängig ist, d.h. wir erhalten das gleiche δ für (z.B.) f µ =µ sin(πx).<br />
Der Weg ins Chaos findet häufig in dieser universellen Art <strong>und</strong> Weise statt. Dies läßt sich analytisch<br />
erklären, siehe [SU03].<br />
Hier betrachten wir nur die ersten Periodenverdopplungen. Zunächst bemerken wir jedoch,<br />
wann keine Bifurkation stattfindet, vgl. Abb.20.<br />
Theorem 4.31 Kontinuierung von Fixpunkten. Sei f(x; µ) eine durch µ ∈ R parametrisierte<br />
Familie von differenzierbaren Funktionen mit f(x 0 ; µ 0 ) = x 0 <strong>und</strong> ∂ x f(x 0 , µ 0 ) ≠ 1. Dann<br />
existiert eine eindeutige lokale Auflösung x = x 0 (µ), d.h. es existieren Intervalle I um x 0 <strong>und</strong><br />
N um µ 0 <strong>und</strong> eine Funktion x 0 : N → I mit x 0 (µ 0 ) = x 0 <strong>und</strong> f(x 0 (µ), µ) = x 0 (µ), <strong>und</strong> f(·; µ)<br />
besitzt keine anderen Fixpunkte in I.<br />
Beweis: Übung<br />
□<br />
Wie wir bereits gesehen haben, wird der Fixpunkt p µ = µ − µ 1 bei µ=3 instabil. Da f ′ (p µ )=2−µ,<br />
ist für µ = 3 die Linearisierung durch y n+1 = −y n gegeben. Mittels des Satzes über implizite<br />
Funktionen kann durch Betrachten der Bedingung fµ(x) 2 − x = 0 nachgewiesen werden, daß<br />
eine zweiperiodische Lösung verzweigt, bzw. bifurkiert. Für theoretische Zwecke ist es häufig<br />
angenehmer statt f(x; µ) die Familie ˜f(x; µ) = f(x + x 0 (µ); µ) − x 0 (µ) zu betrachten, sodaß<br />
der Fixpunkt in 0 liegt. Dabei lassen wir die ˜ im weiteren wieder weg.<br />
Abbildung 20: Kontinuierung von Fixpunkten <strong>und</strong> Sattel–Knoten–Bifurkation.<br />
Theorem 4.32 Sattel–Knoten–Bifurkation Es sei f(0, µ 0 ) = 0, ∂ x f(0, µ 0 ) = 1, ∂ 2 x f(0, µ 0) ≠<br />
0 <strong>und</strong> ∂ µ f(0, µ 0 ) ≠ 0. Dann existiert eine Umgebung I von 0 <strong>und</strong> eine Funktion µ : I → R mit<br />
µ(0) = µ 0 , f(x, µ(x)) = x, <strong>und</strong> µ ′ (0) = 0, µ ′′ (0) = −(∂ 2 x f(0, µ 0))/(∂ µ f(0, µ 0 )).<br />
Beweis: Setze g(x, µ) = f(x, µ) − x, d.h.: g(x, µ) = 0 ⇒ f(x, µ) hat Fixpunkt x. Es gilt<br />
∂ µ g(0, µ 0 ) = ∂ µ f(0, µ 0 ) ≠ 0, <strong>und</strong> damit existiert nach dem Satz über implizite Funktionen eine<br />
eindeutige Auflösung µ(x) mit g(x, µ(x)) ≡ 0. Implizites Differenzieren liefert µ ′ (0) = 0 <strong>und</strong><br />
µ ′′ (0) = −(∂ 2 xf(0, µ 0 ))/(∂ µ f(0, µ 0 )). □<br />
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