Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
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nicht leer ist. Wenn x ∈ ∩ n≥0 I s0 ...s n , dann gilt x ∈ I s0 , f µ (x) ∈ I s1 , usw. und somit h(x) = (s 0 s 1 . . .), woraus die Surjektivität folgt. Um die Stetigkeit von h zu zeigen, wählen wir x ∈ Λ mit h(x) = s 0 s 1 . . .. Sei ɛ > 0 und wähle n ∈ N mit 1/2 n < ɛ. Die Menge der Intervalle I t0 ...t n für alle möglichen Kombinationen von t 0 . . . t n sind disjunkt und ihre Vereinigung enthält Λ. Es gibt 2 n+1 solche Intervalle und I s0 ...s n ist eines von ihnen. Wir wählem nun δ > 0, so daß aus |x − y| < δ und y ∈ Λ die Beziehung y ∈ I s0 ...s n folgt. Damit gilt aber, daß h(x) und h(y) in der ersten n + 1 Stellen übereinstimmen und somit d(h(x), h(y)) < 1 2 < ɛ. n Damit ist die Stetigkeit von h gezeigt. Analog folgt die Stetigkeit von h −1 . Es bleibt die Konjugiertheit der Flüsse zu zeigen. □ Theorem 4.28 Es gilt h ◦ f µ = σ ◦ h. Beweis: Ein Punkt x ∈ Λ ist eindeutig durch ∩ n≥0 I s0 ...s n festgelegt. Es ist so daß da f µ (I s0 ) = I. Es ergibt sich I s0 ...s n = I s0 ∩ f −1 µ (I s1 ) ∩ . . . ∩ f −n µ (I sn ), f µ (I s0 ...s n ) = I s1 ∩ f −1 µ (I s 2 ) ∩ . . . ∩ f −(n−1) µ (I sn ) = I s1 ...s n , h ◦ f µ (x) = h ◦ f µ (∩ ∞ n=0 I s 0 ...s n ) = h(∩ ∞ n=1I s1 ...s n ) = s 1 s 2 . . . = σ ◦ h(x). Zusammenfassend haben wir gezeigt: □ Theorem 4.29 Sei f µ (x) = µx(1 − x) mit µ > 2 + √ 5. Dann gilt: a) Es gibt 2 n periodische Punkte der Periode n. b) Die Menge der periodischen Punkte liegt dicht in Λ. c) f µ besitzt einen dichten Orbit in Λ. Bemerkung: Der Nachweis der periodischen Punkte kann auch direkt erfolgen, denn der Graph von f n µ schneidet die Gerade y = x mindestens 2n -mal. Damit hat f n µ mindestens 2n Fixpunkte, bzw. f µ besitzt mindestens 2 n periodische Punkte der Periode n. Bemerkung: Die Konjugiertheit zur Shiftdynamik ist die strengste Definition von Chaos. Für praktische Zwecke gibt es weichere Definitionen, siehe [SU03]. In zwei Raumdimensionen erfolgt der Nachweis chaotischen Verhaltens of über ein Zwischenmodell, das Smale’sche Hufeisen, siehe Abschnitt 6.2. 52
Einschub: Periodenverdopplung und die Feigenbaumkaskade Für µ ≤ 3 existiert nach Lemma 4.20 als einzige periodische Lösung ein stabiler Fixpunkt. Für µ > 3 erhalten wir eine Kaskade von Periodenverdopplungen. Übung 4.30 Untersuche f µ mittels xppaut, insbesondere für µ ∈ (3, 4). Was passiert für µ > 4, was für 3.825 ≤ µ ≤ 3.86 ? Lösung. Eine Möglichkeit Übung 1.4 zu bearbeiten ist die folgende: kopiere das folgende xppaut- ODE file qf.ode 2 v m x # m=mu ist dummy-variable, d.h. parameter o m o m*x*(1-x) d in ein Verzeichnis und starte dort xppaut, d.h. xppaut qf.ode. Dann führe in xppaut die folgenden Schritte aus: 1) unter Viewaxes wähle m ∈ [2.5, 4.5] für x-axes und x ∈ [0.1] für y-axes. 2) unter Numerics, Method wähle discrete, sowie Total=200 und tRansient=150; hiermit (wie mit allem anderen) kann man spielen. 3) unter Graphic stuff wähle (E)dit und dann Line type: 0. 4) unter Initialconds wähle Mice und klick im Fenster rum. 4b) unter Initialconds wähle New und dann x = 0.1 (z.B.). Anschließend wähle Initialconds, Range und dann m ∈ [2.5, 4.5], 200 Steps. Im Graphikfenster von xppaut sollte nun in etwa das Bild in Abb. 19 links erscheinen. x 8 4 2 1 µ Abbildung 19: Die Feigenbaumkaskade f µ , numerisch und schematisch. Die numerische Simulation zeigt mit wachsendem µ eine Reihe von Periodenverdopplungen, siehe Abb.19. Die Werte µ j , bei denen diese stattfinden, häufen sich bei µ = µ ∞ . Überraschen- 53
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Einschub: Periodenverdopplung <strong>und</strong> die Feigenbaumkaskade<br />
Für µ ≤ 3 existiert nach Lemma 4.20 als einzige periodische Lösung ein stabiler Fixpunkt. Für<br />
µ > 3 erhalten wir eine Kaskade von Periodenverdopplungen.<br />
Übung 4.30 Untersuche f µ mittels xppaut, insbesondere für µ ∈ (3, 4). Was passiert für<br />
µ > 4, was für 3.825 ≤ µ ≤ 3.86 ?<br />
Lösung. Eine Möglichkeit Übung 1.4 zu bearbeiten ist die folgende: kopiere das folgende xppaut-<br />
ODE file qf.ode<br />
2<br />
v m x<br />
# m=mu ist dummy-variable, d.h. parameter<br />
o m<br />
o m*x*(1-x)<br />
d<br />
in ein Verzeichnis <strong>und</strong> starte dort xppaut, d.h. xppaut qf.ode. Dann führe in xppaut die folgenden<br />
Schritte aus:<br />
1) unter Viewaxes wähle m ∈ [2.5, 4.5] für x-axes <strong>und</strong> x ∈ [0.1] für y-axes.<br />
2) unter Numerics, Method wähle discrete, sowie Total=200 <strong>und</strong> tRansient=150; hiermit<br />
(wie mit allem anderen) kann man spielen.<br />
3) unter Graphic stuff wähle (E)dit <strong>und</strong> dann Line type: 0.<br />
4) unter Initialconds wähle Mice <strong>und</strong> klick im Fenster rum.<br />
4b) unter Initialconds wähle New <strong>und</strong> dann x = 0.1 (z.B.). Anschließend wähle<br />
Initialconds, Range <strong>und</strong> dann m ∈ [2.5, 4.5], 200 Steps. Im Graphikfenster von xppaut sollte<br />
nun in etwa das Bild in Abb. 19 links erscheinen.<br />
x<br />
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Abbildung 19: Die Feigenbaumkaskade f µ , numerisch <strong>und</strong> schematisch.<br />
Die numerische Simulation zeigt mit wachsendem µ eine Reihe von Periodenverdopplungen,<br />
siehe Abb.19. Die Werte µ j , bei denen diese stattfinden, häufen sich bei µ = µ ∞ . Überraschen-<br />
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