Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

iii) Sei a ∈ Σ 2 und δ > 0 gegeben. Setze dann b j = a j für j ≤ j 0 (δ) und a j0 (δ)+1 ≠ b j0 (δ)+1,
womit die Behauptung folgt.
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Die Shiftdynamik wird zur Definition chaotischen Verhaltens wie folgt verwendet.
Definition 4.25 Ein dynamisches System x n+1 = f(x n ) mit f : R d → R d heißt chaotisch, falls
sich in diesem System Shiftdynamik findet. Genauer: Es gibt eine Teilmenge Λ ⊂ R d und einen
Homöomorphismus h : Λ → Σ 2 , so daß σ ◦ h = h ◦ f.
Bemerkung: Die Abbildungen f und σ heißen dann konjugiert.
Definition 4.26 Die Reiseroute von x ist die Folge h(x) = (s j ) n∈N = s 0 s 1 s 2 . . ., wobei s j = 0,
wenn F j µ (x) ∈ I 0 und s j = 1, wenn F j µ (x) ∈ I 1.
Theorem 4.27 Für µ > 2 + √ 5 ist h : Λ → Σ 2 ein Homöomorphismus.
Beweis: Wir zeigen zunächst, daß h bijektiv ist.
Wir nehmen an, daß es x, y ∈ Λ gibt mit h(x) = h(y). Dann liegen fµ n (x) und fµ n (y) auf der
gleichen Seite von 1/2. Da f µ auf dieser Seite monoton ist, bleiben mit den Endpunkten des
Intervals [fµ n (x), f µ n (y)] auch alle andern Punkte des Intervalls auf der gleichen Seite von 1/2
und damit in Λ, was im im Widerspruch zur totalen Unzusammenhängigkeit von Λ steht.
Um die Surjektivität zu zeigen, führen wir die folgende Bezeichnung ein. Sei J ⊂ I ein abgeschlossenes
Intervall. Weiter sei
fµ −n (J) = {x ∈ I | f µ n (x) ∈ J},
d.h. Fµ −1 (J) ist das Urbild von J. Wenn J ⊂ I ein abgeschlossens Intervall ist, so besteht das
Urbild aus zwei abgeschlossenen Intervallen, eines in I 0 und eines in I 1 . Zu s = s 0 s 1 s 2 . . .
müssen wir ein x ∈ Λ mit h(x) = s konstruieren. Dazu definieren wir
Es ist
I s0 s 1 ...s n
= {x ∈ I | x ∈ I s0 , f µ (x) ∈ I s1 , . . . , f n µ (x) ∈ I s n
}
= I s0 ∩ f −1
µ (I s 1
) ∩ . . . ∩ f −n
µ (I s n
).
I s0 s 1 ...s n
= I s0 ∩ f −1
µ (I s1 ...s n
).
Wir nehmen an, daß I s1 ...s n
ein nicht leeres abgeschlossenes Intervall ist. Nach den obigen Überlegungen
besteht fµ −1 (I s1 ...s n
) aus zwei abgeschlossenen Intervallen, je eines in I 0 und eines in
I 1 . Damit ist I s0 ∩ fµ −1(I
s 1 ...s n
) ein einziges abgeschlossenes Intervall. Diese Intervalle erfüllen
Damit folgt, daß
I s0 ...s n
= I s0 ...s n−1
∩ f −n
µ (I s n
) ⊂ I s0 ...s n−1
.
∩ n≥0 I s0 ...s n
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