Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

zu a) In diesem Fall ist p ∈ Λ nicht isoliert.
zu b) Somit muß es ein n ∈ N geben, so daß f n (p) = 0 und f n (x) < 0 für alle x ∈ U/{p}.
Damit gilt (fµ n )′ (p) = 0. Nach der Kettenregel gibt es damit ein i < n mit F ′ (f i (p)) = 0,
woraus f i (p) = 1/2 und dann f i+1 (p) ∉ I folgt im Widerspruch zu f n (p) = 0.
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Die so konstruierten Cantormengen sind Fraktale. Fraktale spielen in der Theorie der dynamischen
Systeme eine wichtige Rolle. Attraktoren (Limesmenge der Gesamtheit der Lösungen
für n → ∞) besitzen häufig fraktale Geometrie und werden dann als seltsam (engl. strange)
bezeichnet. Ihnen kann eine nicht ganzzahlige Dimension zugewiesen werden. Fraktale spielen
heute auch bei Computergrafiken und bei der Analyse von Börsenkurse eine wichtige Rolle.
Einschub Fraktale:
Der folgende Abschnitt beruht auf den Büchern [Man91, PR86, GH83]. Dort findet sich:
Eine Menge mit nicht ganzzahliger Hausdorff-Dimension ist ein Fraktal.
Definition 4.23 Die Hausdorff-Dimension einer Menge M ⊂ R m ist das Infimum aller d mit
der folgenden Eigenschaft. Für alle ɛ > 0 gibt es ein δ > 0 und eine Überdeckung U von M, so
daß die Mengen B ∈ U alle Radius kleiner als δ > 0 haben und ∑ B∈U (diamB)d < ɛ.
Für euklidische Räume und glatte Mannigfaltigkeiten stimmt die Hausdorff-Dimension mit der
üblichen Definition überein.
Beispiel: Wir überdecken M = [0, 1] ∈ R (bzw. R m ) durch 1/δ viele Intervalle (bzw. m-
dimensionale Kugeln) der Länge δ. Der Ausdruck
1/δ
∑
∑
(diamB) d = δ d = δ d−1
B∈U
kann für festes d > 1 durch die Wahl von einem kleinen δ > 0 kleiner als ein vorgegebenes
ɛ > 0 gemacht werden. Das Infimum all dieser d ist 1.
n=0
0
δ
1
Abbildung 18: Überdeckung von [0, 1] in R 2 .
Beispiel: Die obige Cantormenge C kann nach Konstruktion durch 2 n Intervalle der Länge
δ = 3 −n überdeckt werden. Der Ausdruck
∑
(diamB) d =
B∈U
2 n ∑
j=0
(3 −n ) d = (2/3 d ) n
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