Gew¨ohnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

estehend aus den Punkten, die unter allen Iterationen in I bleiben.
Wir zeigen zunächst, daß Λ eine Cantormenge ist. Die Menge I − A 0 besteht aus zwei abgeschlossenen
Intervallen I 0 und I 1 , und f µ bildet I 0 , bzw. I 1 monoton auf I ab. Damit gibt es in I 0
und I 1 zwei offene Intervalle, die durch f µ auf A 0 abgebildet werden. Die Menge A 1 ist die Vereinigung
dieser Intervalle. Betrachte nun I − (A 0 ∪ A 1 ). Diese Menge besteht folglich aus vier
abgeschlossenen Intervallen. Jedes dieser Intervalle wird durch fµ 2 monoton auf I abgebildet.
Die Menge A n besteht damit aus 2 n offenen Intervallen. Entsprechend ist I − (A 0 ∪ . . . ∪ A n )
die Vereinigung von 2 n+1 abgeschlossenen Intervallen. Jedes dieser Intervalle wird durch f n+1
monoton auf I abgebildet.
Diese Konstruktion erinnert uns an:
Definition 4.21 Eine Menge Λ ist eine Cantormenge, wenn sie abgeschlossen, total unzusammenhängend
und perfekt ist. Eine Menge heißt total unzusammenhängend, wenn sie keine offenen
Intervalle enthält. Eine Menge heißt perfekt, wenn jeder Punkt Limespunkt anderer Punkte
dieser Menge ist.
Beispiel: Eine klassisches Beispiel einer solchen Menge erhalten wir indem wir aus I zunächst
das Intervall (1/3, 2/3) entfernen. Danach werden die Intervalle (1/9, 2/9) und (7/9, 8/9)
entfernt. Setzen wir diese Konstruktion fort, erhalten wir eine Cantormenge mit der gleichen
Mächtigkeit wie I, aber mit Maß Null. Im n-ten Schritt besteht die erhaltenene Menge aus 2 n
Intervallen der Länge 3 −n . Ein x ∈ [0, 1] ist in dieser Cantormenge, wenn x = ∑ ∞
i=1 a i3 −i mit
a i ∈ {0, 2}.
Die oben konstruierte Menge Λ ist wie bereits erwähnt für alle µ > 4 eine Cantormenge. Wir
beweisen hier
Theorem 4.22 Für µ > 2 + √ 5 ist Λ eine Cantormenge.
Beweis: Unter der Voraussetzung, daß µ > 2 + √ 5 ist, gilt |f ′ µ(x)| ≥ λ für ein λ > 1 und alle
x ∈ I 0 ∪ I 1 . Nach der Kettenregel gilt |(f n µ )′ (x)| > λ n . Wir nehmen an Λ würde ein Intervall
[x, y] enthalten. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein n ∈ N mit
|fµ n (x) − f µ n (y)| ≥ inf |(fµ n )′ (α)| |x − y| ≥ λ n |x − y| > 1,
α∈[x,y]
was zur Folge hätte, daß entweder f n µ (x) oder f n µ (y) außerhalb von I liegen müssten. Damit
muß Λ total unzusammenhängend sein.
Λ ist als Schnitt abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen.
Um zu zeigen, daß Λ perfekt ist, stellen wir zunächst fest, daß jeder Endpunkt der A k nach endlich
vielen Iterationen auf 0 abgebildet wird. Sei nun p ∈ Λ isoliert, so muß jeder benachbarte
Punkt das Intervall I nach endlich vielen Schritten verlassen und gehört damit zu einem A k .
Entweder gibt es damit a) eine Folge von Endpunkten der A k die gegen p ∈ Λ konvergieren
oder b) ein k ∈ N und eine Umgebung U um p, so daß fµ k (U/{p}) außerhalb I liegt.
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